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629の解答を教えてください

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A 回答 (3件)

f(x)=∫[0~1]|x - t|*e^tdt とします。


2) ●0≦x≦1 のとき、
f(x)=∫[0~x](x-t)*e^tdt+∫[x~1](t-x)*e^tdt
=e^x-(x+1)+e^x-ex=2*e^x - (e+1)x - 1.
●x≦0 のとき、
f(x)=∫[0~1](t-x)*e^tdt
(1-e)x+1.
●1≦x のとき、
f(x)=∫[0~1](x-t)*e^tdt=(e-1)x - 1.
---------
上記より、0≦x≦1 のときを考えてみます。
f'(x)=2*e^x-(e+1)=0 すなわち、x=ln{(e+1)/2}の前後で導関数が負から正へと変わるから
この点(x=αとおく)でf(x)は最小となります。その値は、
min(f(x))=f(α)=e - (e+1)*α=e - (e+1)*ln{(e+1)/2}.
です。
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被積分関数の絶対値記号を解消するために、


0≦t≦1 の範囲での x-t の正負を知る必要があります。
0<x<1 か否かで事情が違ってきますね?

(1)
1≦x の場合は、0≦t≦1 の全域で x-t≧0 なので、f(x) = ∫[0,1](x-t)(e^t)dt です。
部分積分を使って、f(x) =∫[0,1](x-t)(e^t)dt = [ (x-t)e^t ]_(0,1) - ∫[0,1](-1)(e^t)dt
= {(x-1)e^1 - (x-0)e^0} + {e^1 - e^0} = (e-1)x - 1.

x≦0 の場合は、0≦t≦1 の全域で x-t≦0 なので、f(x) = ∫[0,1](-(x-t))(e^t)dt より
同様に、f(x) = -∫[0,1](x-t)(e^t)dt = -((e-1)x - 1) = -(e-1)x + 1.

0<x<1 の場合がやや面倒で、積分区間 0≦t≦1 のうち
0≦t≦x の範囲では x-t≧0、 x≦t≦1 の範囲では x-t≦0 なので、
f(x) = ∫[0,1]|x-t|(e^t)dt = ∫[0,x](x-t)(e^t)dt + ∫[x,1](-(x-t))(e^t)dt
= [(x-t)e^t - (-1)e^t]_(0,x) - [(x-t)e^t - (-1)e^t]_(x,1)
= {((x-x)e^x + e^x) - ((x-0)e^0 + e^0)} - {((x-1)e^1 + e^1) - ((x-x)e^x + e^x)}
= 2e^x - (e+1)x - 1.

(2)
1≦x のとき f’(x) = e-1 > 0,
x≦0 のとき f’(x) = -(e-1) < 0,
0<x<1 のとき f’(x) = 2e^x - (e+1) > 2e^0 - (e+1) = e-1 > 0
であることから、増減を考えると
f(x) の最小値は f(0) = -(e-1)0 + 1 = 1.
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(1)は、


f(x)=∫[0,1] |x-t|e^t dt
=(|x-t|e^t)[0,1] - ∫[0,1] |-1|e^t dt
=e|x-1| - |x| - ∫[0,1] e^t dt
=e|x-1| - |x| - (e^t)[0,1]
=e|x-1| - |x| - e + 1

ゆえに、f(x)=e|x-1| - |x| - e + 1

(2)は、
x≧1のとき:
f(x)=e(x-1)-x-e+1=(e-1)x-2e+1
e-1>0よりx=1のときが最小。
f(1)=e-1-2e+1=-e

0≦x≦1のとき:
f(x)=e(-x+1)-x-e+1=-(e+1)x+1
-(e+1)<0より、x=1のときが最小。
f(1)=-(e+1)+1=-e

x≦0のとき:
f(x)=e(-x+1)+x-e+1=-(e-1)x+1
-(e-1)<0よりx=0のときが最小。
f(0)=1

以上より、x=1のときf(x)が最小になり、最小値は-e
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