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2行目の平方完成した時絶対値つくのはなぜですか?2次式のところに絶対値があった場合につけるのですか?よくわからないので教えてください

「2行目の平方完成した時絶対値つくのはなぜ」の質問画像

A 回答 (2件)

ベクトルだからです.


ベクトルを2乗するのは無理なので絶対値を二乗しようというのは内積の考え方とほぼ同じです
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ベクトルの式で |→OP|^2 と書いてあるのは、内積 (→OP)・(→OP) の略記です。


|→OP|^2 のほうが、かさばらなくて書きやすいですからね。
同じベクトルどうしの内積は、なす角が0ですから、長さの2乗に一致します。

4(→OP)・(→OP) - 4(→OA)・(→OP) + 25 を平方完成すると、普通の2次多項式と同様に
= 4{ (→OP)・(→OP) - (→OA)・(→OP) } + 25
= 4{ (→OP)・(→OP) - 2(1/2)(→OA)・(→OP) + (1/2)(→OA)・(1/2)(→OA) - (1/2)(→OA)・(1/2)(→OA) } + 25
= 4{ (→OP)・(→OP) - 2(1/2)(→OA)・(→OP) + (1/2)(→OA)・(1/2)(→OA) } - 4(1/4)(→OA)・(→OA) + 25
= 4{ (→OP) - (1/2)(→OA) }・{ (→OP) - (1/2)(→OA) } - (→OA)・(→OA) + 25
となります。

これを、(→OP)・(→OP) よりも |→OP|^2 のスタイルを使って
4|→OP|^2 - 4(→OA)・(→OP) + 25
= 4{ |→OP|^2 - (→OA)・(→OP) } + 25
= 4{ |→OP|^2 - 2(1/2)(→OA)・(→OP) + |(1/2)(→OA)|^2 - |(1/2)(→OA)|^2} + 25
= 4{ |→OP|^2 - 2(1/2)(→OA)・(→OP) + |(1/2)(→OA)|^2 } - 4(1/4)|→OA|^2 + 25
= 4|(→OP) - (1/2)(→OA)|^2 - |→OA|^2 + 25
と書いたほうが読みやすいだろうということです。
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(1)
f(x)=x+2cosx
f'(x)=1-2sinx
f'(x)=0と置くと、sinx=1/2 ⇒ x=π/6
増減表を書く。

x   0     π/6    π/2
f'(x) 1 ↑   0   ↓ -1
f(x)  2 ↑ π/6+√3 ↓  π/2

π/6=0.52
π/6+√3≒0.52+1.73≒2.25
π/2=1.57

グラフは黄色部分の中にある黒い曲線。このグラフはx軸がやや延ばされているので注意。
(0,2)、(π/6、π/6+√3)、(π/2、π/2)を明示した方が良いだろう。
なお、このグラフでは、(0,2)、(0.52、2.26)、(1.57、1.57)で代用している。


(2)
f'(x)=1-2sinx より、点P(a、f(a))における接線の式は
y=(1-2sina)(x-a)+(a+2cosa)
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=(1-2sina)x+2a・sina+2cosa
答え:y=(1-2sina)x+2a・sina+2cosa
参考までに、接線の一つを赤いラインで示している。

(3)
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=[(1-2sina)・1/2・x^2+(2a・sina+2cosa)・x-1/2・x^2-2sinx](0→π/2)
=(1-2sina)・π^2・1/8+aπ・sina+π・cosa-1/8・π^2-1
=-1/4・π^2・sina+aπ・sina+π・cosa-1
S={aπ-(π^2/4)}・sina+π・cosa-1


(4)
S={aπ-(π^2/4)}・sina+π・cosa-1
題意より、0≦a≦π/2 は明らか。
dS/da=π・sina+{aπ-(π^2/4)}・cosa-π・sina={aπ-(π^2/4)}・cosa
dS/da=0と置いて、(i)cosa=0の時と (ii)aπ-(π^2/4)=0 の時を調べる。
(i)cosa=0、つまりa=π/2の時
S=π^2/4-1
(ii)aπ-(π^2/4)=0 の時
aπ=π^2/4
a=π/4
増減表を作る。
a   0   π/4   π/2
dS/da - - 0  + 0
S    減少 極小 増加
つまり、Sは0≦a<π/4においては単調減少、a=π/4で極小値、π/4<a<π/2で単調増加、π/2でdS/da=0を取る。
故に、a=π/4の時にSは最小値を取る。
この時の S={π^2/4-(π^2/4)}・sin(π/4)+π・cos(π/4)-1=(√2/2)・π-1 である。

参考までに、ちょっと太めの水色ラインがSのグラフである。a=π/4(≒0.78)の時に最小値を取り、(√2/2)・π-1(≒1.22)であることがわかっていただけるだろうか。

(1)
f(x)=x+2cosx
f'(x)=1-2sinx
f'(x)=0と置くと、sinx=1/2 ⇒ x=π/6
増減表を書く。

x   0     π/6    π/2
f'(x) 1 ↑   0   ↓ -1
f(x)  2 ↑ π/6+√3 ↓  π/2

π/6=0.52
π/6+√3≒0.52+1.73≒2.25
π/2=1.57

グラフは黄色部分の中にある黒い曲線。このグラフはx軸がやや延ばされているので注意。
(0,2)、(π/6、π/6+√3)、(π/2、π/2)を明示した方が良いだろう。
なお、このグラフでは、(0,2)、(0.52、2.26)、(1.57、1.57)で代用している。


(2)
f'(x)=1-2sinx より、点P(...続きを読む


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