3問とも教えて欲しいです。 解答の過程を書いていただきたいです。 お願いします。

3問とも教えて欲しいです。

解答の過程を書いていただきたいです。

お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/05/01 11:13

(1) これは、単純に u(x) = f(x) + 2g(x) とおけば

　du/dx = f'(x) + 2g'(x)
なので、①式は
　du/dx - u = 0
となり
　du/dx = u
より
　∫(1/u)du = ∫dx
→　ln|u| = x + C1
　u = ±e^(x + C1) = C2*e^x　（C2 = ±e^C1）
u(x) を元に戻して
　f(x) + 2g(x) = C2*e^x　　　①
となります。

(2) これも同様に v(x) = 2f(x) - g(x) とおけば
　dv/dx = 2f' - g'
なので、②式は
　dv/dx + xv = 0
→　dv/dx = -xv
変数分離して積分すれば
　∫(1/v)dv = -∫xdx
→　ln|v| = -(1/2)x^2 + C3
→　v = ±e^[-(1/2)x^2 + C3]
　　　= C4*e^[-(1/2)x^2]　（C4 = ±e^C3）
v(x) を元に戻して
　2f(x) - g(x) = C4*e^[-(1/2)x^2]　　　②

(3) ① + ②*2 より
　5f(x) = C2*e^x + 2*C4*e^[-(1/2)x^2]
→　f(x) = (1/5)*C2*e^x + (2/5)*C4*e^[-(1/2)x^2]
f(0) = 5 より
　(1/5)*C2 + (2/5)*C4 = 5
→　C2 + 2*C4 = 25　　　③

①*2 - ② より
　5g(x) = 2*C2*e^x - C4*e^[-(1/2)x^2]
→　g(x) = (2/5)*C2*e^x - (1/5)*C4*e^[-(1/2)x^2]
g(0) = 0 より
　(2/5)*C2 - (1/5)*C4 = 0
→　2*C2 - C4 = 0　　　④

③ + ④*2 より
　5*C2 = 25
→　C2 = 5

③*2 - ④ より
5*C4 = 50
→　C4 = 10

以上より
　f(x) = e^x + 4*e^[-(1/2)x^2]
　g(x) = 2*e^x - 2*e^[-(1/2)x^2]

No.1 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/05/01 08:58

どこまで解いてどこが分からないのかがいつも不明です。

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定数係数の１階線形常微分方程式が解ければ解決します。
第一式より、f(x)+2*g(x)=A*e^(-x),
第二式より、2*f(x)-g(x)=B*e^(-x^2/2).
であることがすぐわかります。
3) 初期値を代入して２つの関数を決定してください。