a+b)(b+c)(c+a)+abcの因数分解のしかた教えてください。いろいろ調べてみたのですが、理

a+b)(b+c)(c+a)+abcの因数分解のしかた教えてください。いろいろ調べてみたのですが、理解できません。詳しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/05/01 10:56

地道にやるなら一度展開して、aについて整理からスタート

→(非常に丁寧に展開すれば以下のようになる）
与式=(ba²+ca²++bca+c²a+b²a+bca+b²c+bc²)+bca
=(b+c)a²+(b²+3bca+c²)a+b²c+bc²
b²c+bc²から共通因数bcをくくり出して
=(b+c)a²+(b²+3bca+c²)a+(b+c)bc

ここで　たすきがけ（詳しい仕組みついては別途調べてみてください！）
a²の係数、定数項　、ａの係数の順番に並べて○に当てはまる文字式を試行錯誤して見つける
左の縦の列に○に当てはまる式は（縦の列をみて）積が(b+c)になるような組合せでなくてはならない
中央の縦の列に○に当てはまる式は（縦の列をみて）積が(b+c)bcになるような組合せでなくてはならない
○に当てはめた式「Ｘ」に従って（クロスして）掛け算、その結果を「→」の横に表示
→の横に表示された○部分の式を足し算して、右下のb²+3bca+c²に一致すれば完了。一致しなければ別の式の組み合わせでやり直し
　○　　　　○　→　○
　　　X　　　
　○　　　　○　→　○
ーーーーーーーーーーーーーーーー
(b+c)　(b+c)bc　(b²+3bca+c²)

すると
　1　　　(b+c)　－　(b+c)²
　　　X　　　
(b+c)　　　bc　　－　bc
ーーーーーーーーーーーーーーーー
(b+c)　(b+c)bc　(b²+3bca+c²)

であることがわかる。
よってこの結果より
(b+c)a²+(b²+3bca+c²)a+(b+c)bc={a+(b+c)}{(b+c)a+bc}=(a+b+c)(ab+bc+ca)となる
（たすき掛けの○は左上がaの係数、中央上が定数項を表している→今回は結果が、ひだり上が１だからaの係数は1で1a
中央上が(b+c)だから定数項は(b+c)
→よって因数の１つは1a+(b+c)=(a+b+c)とわかる
同様に左下の○から(b+c)a,中央下のまるからbc
→つまり、(b+c)a+bc=(ab+bc+ca)も因数だと分かる）

この回答へのお礼

詳しく教えてくださいましてほんとうにありがとうございます！やっと理解することができました！

お礼日時：2019/05/01 16:14

No.5 回答者： takoハ 回答日時： 2019/05/01 13:20

この問題は、過去の(興亜火災)の就職試験問題であり、答えは、

(a+b+c)(ab+bc+ca)と記載してあった！(追記)

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/05/01 13:15

与えられた式は、三次の同次対称式である。

a=ー(b+c)とおけば、与えられた式=0
となるから、従って、与えられた式は、aー(ーbーc)=(a+b+c)
で割り切れる。即ち、a+b+c という因数をもつ。ところで、
この因数は、a,b,cについての一次の同次対称式だから、
これで、与えられた式(三次の同次対称式)を割った商は、a,b,cについての
二次の同次対称式でなければならない。
従って、以下の恒等式
与えられた式=(a+b+c)｛A(a^2+b^2+c^2)+B(ab+bc+ca)｝
(ただし、A,Bは未定係数)
において
両辺に、a=b=c=1を代入すると
2^3+1=9=3・(3A+3B) ∴A+B=1
また、b=c=0を代入すると、0=A・a^2 となりA=0 ∴B=1
従って
与えられた式=(a+b+c)(ab+bc+ca) と因数分解される。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/05/01 11:20

検索すりゃ、履いて捨てるほど出て来る。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2019/05/01 11:09

＞いろいろ調べてみたのですが、理解できません

いろいろ出てきますよ。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11053499.html
https://okwave.jp/qa/q3558460.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/8060974.html