微分の定義
    lim{Δz→0} {f(z + Δz) - f(z)}/Δz
に立ち戻らずに偏微分などを使って複素関数の導関数を求めたいのですが。

    w = f(z) = u + iv, z = x + iy (x,y,u,vは実数)
として
    f'(z) = dw/dz = (d/dz)(u + iv)
までは合ってますよね?

ここから
    du/dz = (∂u/∂x)(∂x/∂z) + (∂u/∂y)(∂y/∂z)
として
    ∂z/∂x = 1, ∂z/∂y = i
より
    du/dz = ∂u/∂x - i ∂u/∂z
同様に
    dv/dz = ∂v/∂x - i ∂v/∂z
としてしまっていいのでしょうか?

実際の例としてf(z) = sin(z)を例に教えてください。

A 回答 (1件)

x=x(z), y=y(z) というわけではないから,


それはちょっとまずいですよ.

(1)    f'(z) = (∂u/∂x) + i(∂v/∂x) = -i (∂u/∂y) + (∂v/∂y)
です.
Cauchy-Riemann の関係式
(∂u/∂x) = (∂v/∂y),   (∂u/∂y) = -(∂v/∂x)
にご注意下さい.

実関数ですと,増分δのゼロへの近づき方は正の側からと負の側からの2通りだけです.
もちろん,どちらから近づいても同じ変化割合にならないと微分可能とは言いませんね.
複素関数ですと,増分δ=Δz のゼロへの近づき方は無限にあります.
δ= h + ik として(h,k は実数),h:k をどのような比でゼロに近づけても,
変化割合が同じになるときに微分可能といいます.
この要請から Cauchy-Riemann の関係式が出てきます.

詳細は複素関数論のテキストを参照下さい.
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この回答へのお礼

> Cauchy-Riemann の関係式
> (∂u/∂x) = (∂v/∂y),   (∂u/∂y) = -(∂v/∂x)
を満たしていれば、
> (1)    f'(z) = (∂u/∂x) + i(∂v/∂x) = -i (∂u/∂y) + (∂v/∂y)
のどちらを使ってもf'(z)が求まると言う事ですね。

複素解析の本は持っているのですが、質問に書いた定義しか載っていなくて
実際の初等関数の例が示されていなかったもので。

偏微分について今一よく分かってなかったのですが
> x=x(z), y=y(z) というわけではないから,
> それはちょっとまずいですよ.
でちょっと分かった気がします。

ありがとうございました。

お礼日時:2001/07/30 03:19

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Q∂x/∂z=(1/y)*(∂y/∂z)について

∂x/∂z = (1/y)*(∂y/∂z)を解くと、
x = lny + C(定数)になるのですが、

両辺に∂zをかけて、分母の∂zを消去した上でそれぞれ積分しているのでしょうか。

それとも別の操作で∂zを消しているのでしょうか。

Aベストアンサー

かけ算しているとして考えてもいいですし、

左辺=∂x/∂z=∂x/∂y・∂y/∂zとすると、

結局、∂x/∂y=1/yとなることがわかります。

Q∂f/∂x=∂f/∂yの表される解を考えてみました

∂f/∂x=∂f/∂y ・・・・・・・(1) の解について

(1)を満たす解f(x,y)はz=x+yとしてf(x,y)=C(z) (C(z)はzについて微分可能な任意関数)である。
しかしこの解がそれ以外で表されるか否かというのを考えてみました。

(考察)
f(x,y)が(1)の解であるならば、zを任意の定数として固定してy=-x+zのとき
合成関数の微分法を用いて
df(x,-x+z)/dx=0 である。
これをf(x,-x+z)について解くと、f(x,-x+z)=C(z) (C(z)はzのみに依存する任意関数)

すなわち df(x,-x+z)/dx=0 ⇔ f(x,-x+z)=C(z) 
                  ⇔ f(x,y)=C(x+y)  ・・・・・・・・・・・(2)
しかし(1)に代入するとC(x+y)はx+yについて微分可能でないといけないことが分かるので
結局(2)は
 df(x,-x+z)/dx=0 ⇔ f(x,y)=C(x+y) (C(x+y)はx+yについて微分可能な任意関数) ・・・・・・(2)'

となる。
逆に(1)を満たす解の中でf(x,y)=C(x+y)の形以外の適当なx,yに依存する関数F(x,y)を考える。
y=-x+z(zは任意定数)と制限されれば x+yのみに依存する任意関数C(x+y)をとっても
F(x,y)≠C(x+y)であるから (2)'からdF(x,-x+z)/dx≠0    
つまりy=-x+zのとき
dF(x,-x+z)/dx=∂F/∂x+dy/dx・∂F/∂y=∂F/∂x -∂F/∂y≠0 で
このときF(x,y)は(1)を満たさない。

したがって(1)を満たす解はz=x+yとして
f(x,y)=C(z) (C(z)はzについて任意の微分可能な関数)でしか表せない事が分かった。

この説明方法に誤り、アドバイスあれば指摘してください。
問題は(1)の解でy=-x+zと制限すれば必ずdf(x,-x+z)/dx=0なるという情報が分かっている。
F(x,y)をy=-x+zで制限されたときF(x,-x+z)/dx ≠0だから(1)はこのとき満たされないため
f(x,y)=C(x+y)のみしか表せないと考えたのであるが、それでよいかどうか。


fが(1)の解 ⇒ y=-x+zのとき df(x,-x+z)/dx=0
これより  y=-x+zのときdF(x,-x+z)/dx≠0 ⇒ Fは(1)の解でない 
だから
(1)の解はf(x,y)=C(x+y)のみというのが自分の考え。

∂f/∂x=∂f/∂y ・・・・・・・(1) の解について

(1)を満たす解f(x,y)はz=x+yとしてf(x,y)=C(z) (C(z)はzについて微分可能な任意関数)である。
しかしこの解がそれ以外で表されるか否かというのを考えてみました。

(考察)
f(x,y)が(1)の解であるならば、zを任意の定数として固定してy=-x+zのとき
合成関数の微分法を用いて
df(x,-x+z)/dx=0 である。
これをf(x,-x+z)について解くと、f(x,-x+z)=C(z) (C(z)はzのみに依存する任意関数)

すなわち df(x,-x+z)/dx=0 ⇔ f(x,-x+z)=C(z) 
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Aベストアンサー

よいと思います。
(x,y) から (x,z), z=x+y へ
変数変換して考えたのですね。

(x,y) から (z,w), z=x+y, w=x-y へ
変換して考えてみても、x を共用しないので
解りやすいかもしれません。

Q(x+y-1)/(x-y)=(y+z-1)/(y-z)=(z+x-1)

(x+y-1)/(x-y)=(y+z-1)/(y-z)=(z+x-1)/(z-x)のとき
(1)x+y+z=3/2
(2)x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx=3/4
(3){1/(x-1/2)^2}+{1/(y-1/2)^2}+{1/(z-1/2)^2}の値を求めよ。

(1)と(2)の値も問題で、上のような値になりました。
(3)は通分して、(1)と(2)をつかうと、分子が0になってしまい、明らかに答えとしては
おかしい。(3)はどうすればよいのでしょうか。よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

ちょっと確認しましたが, x, y, z として複素数を許せば 0 ですね. #5 は間違ってます.

Qx*y=log(e^x+e^y)と定義すると、(x*y)+z=(x+z)*(y+z)

x、y∈Rに対して
x*y=log(e^x+e^y)
と定義すると、
(x*y)+z=(x+z)*(y+z)
が成り立ちます。
分配法則の*と+を逆にしたような感じですが、この*から何かしらの代数的な事実が従うのでしょうか?
この*の意味は何なのでしょうか?

x*x=aのとき、x=√aと定めと、
√(a*b)≧(a+b)/2
といった相加相乗平均の関係の類似は成り立つようですが。

Aベストアンサー

e^x=X, e^y=Y, e^z=Z と置いて考えましょう。
e^(x*y)=e^x+e^y → Z=X+Y
e^(x+y)=e^x*e^y → Z=X*Y
つまり、正の数の加算と乗算になります。

>分配法則の*と+を逆にしたような感じですが

まさにその通りです。入れ替えて見てください。

>√(a*b)≧(a+b)/2

通常の相加相乗平均とは逆ですね。

Qx, y∈R がx^2+xy+y^2=6をみたしながら動くときz=x+yの取り得る値の範囲を求めよ。

x∈R より、判別式Dは実数解を持つ(D≧0)を利用しました。
y=z-xをx^2+xy+y^2=6に代入
x^2+x(z-x)+(z-x)^2-6=0
x^2-zx+z^2-6=0
題意より
D=z^2-4(z^2-6)≧0
3z^2-24≦0
z^2≦8
∴ -2√2≦z≦2√2

と解いたのですが、説明不足でしょうか?
不自然な点、補足した方がよい点がをご教授下さい。

Aベストアンサー

試験対策を考えているなら、少し答案の書き方を考えたほうが良いかもしれません。
答案は、基本的に「文章を」書くものです。数式は、その補助に過ぎませんから、
式だけ書きっぱなし(に近い)答案は、求める値だけ当たっていても、評価が低い場合があります。

上の答案は、「題意より」の部分を補って

x^2+xy+y^2=6 に y=z-x を代入すると、x^2-zx+z^2-6=0 となる。
題意より、この方程式は x の実数解を持たねばならないから、
判別式を考えると、z^2-4(z^2-6)≧0 が成り立つ。
この不等式を解けば、-2√2≦z≦2√2 となる。

と解釈される可能性があります。(文章になっていないので、読まずに0点という可能性さえある。)

こう書き直してみると、
-2√2≦z≦2√2 は、実数 x が存在するための必要条件に過ぎないこと、
実数 y が存在するかどうかに関して何も言っていないこと、
の二点について、十分性の怪しい記述になっています。

判別式≧0 であれば実数解 x が存在し、y=z-x によって y も実数である
ことを一言書いておくほうが好いでしょう。
そんなこと言うまでもない、と思ったとしても。

試験対策を考えているなら、少し答案の書き方を考えたほうが良いかもしれません。
答案は、基本的に「文章を」書くものです。数式は、その補助に過ぎませんから、
式だけ書きっぱなし(に近い)答案は、求める値だけ当たっていても、評価が低い場合があります。

上の答案は、「題意より」の部分を補って

x^2+xy+y^2=6 に y=z-x を代入すると、x^2-zx+z^2-6=0 となる。
題意より、この方程式は x の実数解を持たねばならないから、
判別式を考えると、z^2-4(z^2-6)≧0 が成り立つ。
この不等式を解けば、-2...続きを読む


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