高１数学です。

（3）の解法をわかりやすく教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/02 17:21

普通にタスキガケです。

(3)の因数分解が (a+b)^2 T^2 - 2(a^2+b^2) T + (a-b)^2 の因数分解と何も変わらん
ことは直感的に判るようになってください。これがピンとこないようだと、練習量が足りてません。
(a+b)^2 x^4 - 2(a^2+b^2) x^2 y^2 + (a-b)^2 y^4 = (y^4){ (a+b)^2 (x^2/y^2)^2 - 2(a^2+b^2) (x^2/y^2) + (a-b)^2 }
とかで説明することもできますが、こんなところでいちいちそんなことやってるようでは計算のラチがあきません。
ともかく、(3)は二次式の因数分解です。

タスキガケを行うためには、頭と尻尾の係数を因数分解するところからですが、
今回は (a+b)^2 と (a-b)^2 が既に因数分解済みです。
あとは、(a+b)^2 と (a-b)^2 をそれぞれ２式の積に分けて中央の係数がうまく -2(a^2+b^2) になる組み合わせを見つける。
c^2 を2式の積に分ける方法は 1・c^2, c・c, c^2・1 とその ± しかありませんから、少しいじってみれば
与式 = { x^2 - y^2 }{ (a+b)^2 x^2 - (a-b)^2 y^2 } がすぐ見つかると思います。

あとは、現れた２つの二次式がまだ因数分解できるようなので、和と差の積でも使えば完了です。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2019/05/03 17:16

No.6 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/05/03 11:28

与式＝{(a+b)x^2+(a-b)y^2}^2-4(a^2)(x^2)(y^2)

=[{(a+b)x^2+(a-b)y^2}-2axy][(a+b)x^2+(a-b)y^2+2axy]

=[ax^2-2axy+ay^2+b(x^2-y^2)][ax^2+2axy+ay^2+b(x^2-y^2)]

=[a(x-y)^2+b(x^2-y^2)][a(x+y)^2+b(x^2-y^2)]

=(x-y)(x+y){a(x-y)+b(x+y)}{a(x+y)+b(x-y)}

No.5 回答者： nouble1 回答日時： 2019/05/02 22:04

此の　手書き.

貴方で　無いとすれば、

まぁ、
書いている　ままだけど、

　　　a²　　　-1
b²　(a²)(b²)　-b²
-1　　-a²　　+1　　-4ab

以上を　集めると、
=(a²)(b²)-a²-b²+1-4ab

並べ替えつつ　4abを、
分けて、
=(a²)(b²)-2ab+1-a²-b²-2ab
=((ab)²-2ab+1²)-(a²+2ab+b²)
=(ab-1)²-(a+b)²

此処で、
ab-1=j
a+b =k
と、

仮に　置くと、
j²-k²
=(j+k)(j-k)

戻して、
=(ab-1+a+b)(ab-1-a-b)

No.3 回答者： okada2728 回答日時： 2019/05/02 13:51

各文字の最低次数に注目すれば、xとyについてはどちらも4次式、aとbについてはどちらも2次式となるので、aかbのどちらかで式を整理していくのが１つのやり方（定石）ですね。

No.2 回答者： takoハ 回答日時： 2019/05/02 13:32

a^2+b^2=t とおけば、

(t+2ab)x^4ー2tx^2・y^2+(tー2ab)y^4
=t(x^4ー2x^2y^2+y^4)+2ab(x^4ーy^4)
=t(x^2ーy^2)^2+2ab(x^2ーy^2)(x^2+y^2)
=(x+y)(xーy)｛ (a^2+b^2)(x^2ーy^2)+2ab(x^2+y^2)｝
=(x+y)(xーy)｛x^2(a+b)^2 ーy^2(aーb)^2｝
=(x+y)(xーy) ｛x(a+b)+y(aーb)｝｛x(a+b)ーy(aーb)｝

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/05/02 10:39

解法も何も、全部展開して、似たような項を集めてまとめ行けばできます。

ただ。それだと方向性がよく見えないので、与えられた式で「似たもの」を作っていくのがよいでしょう。これは「当たりを付けて、トライ・アンド・エラーを繰り返す」ということです。

まず、第3項目だけ「引き算」であることに着目して、ここを「足し算」にしてみます。つまり
　(a - b)^2 * y^4 = (a + b)^2 * y^4 - 4aby^4

そうすると、第2項目も「(a + b)^2」ではなく「a^2 + b^2」になっているので、これも「(a + b)^2」の形にできそうです。
　(a^2 + b^2) * x^2 * y^2 = (a + b)^2 * x^2 * y^2 - 2ab * x^2 * y^2

これを使えば、

　与式 = (a + b)^2 * x^4 - 2[ (a + b)^2 * x^2 * y^2 - 2ab * x^2 * y^2 ] + [ (a + b)^2 * y^4 - 4aby^4 ]
　　　= (a + b)^2 * x^4 - 2(a + b)^2 * x^2 * y^2 + 4ab * x^2 * y^2 + (a + b)^2 * y^4 - 4aby^4
　　　= (a + b)^2 * x^4 - 2(a + b)^2 * x^2 * y^2+ (a + b)^2 * y^4 + 4ab * x^2 * y^2 - 4aby^4
　　　= (a + b)^2 * [x^4 - 2 * x^2 * y^2+ y^4 ] + 4ab * ( x^2 * y^2 - y^4 )
　　　= (a + b)^2 * (x^2 - y^2)^2 + 4ab * y^2 * (x^2 - y^2)
　　　= (x^2 - y^2) * [ (a + b)^2 * (x^2 - y^2) + 4ab * y^2 ]
　　　= (x^2 - y^2) * [ (a + b)^2 * x^2 - (a + b)^2 * y^2 + 4ab * y^2 ]
　　　= (x^2 - y^2) * { (a + b)^2 * x^2 - [ (a + b)^2 - 4ab ] * y^2 }
　　　= (x^2 - y^2) * { (a + b)^2 * x^2 - (a - b)^2 * y^2 }
　　　= (x + y)(x - y)[ (a + b)x + (a - b)y ][ (a + b)x - (a - b)y ]

というような形にできると思います。