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e^(x+y)log(1+y)のマクローリン展開を3次まで教えてください

A 回答 (2件)

No,1投稿は、なぜかe^z のマクローリン展開を間違えてしまった。


e^z の展開 e^z =1+z+(1/2)z²+(1/6)z³+(zについて4次以上の項) より、
e^(x+y)=1+(x+y)+(1/2)(x+y)²+(1/6)(x+y)³+(x,yについて4次以上の項)
= 1+x+y+(1/2)x²+xy+(1/2)y²+(1/6)x³+(1/2)x²y +(1/2)xy²+(1/6)y³+(x,yについて4次以上の項).
また、log(1+y)の展開は、log(1+y) = y - (1/2)y²+(1/3)y³+(yについて4次以上の項).
log(1+y)の展開は1次項から始まるので、e^(x+y)の3次項はlog(1+y)と掛けると4次になるので、計算する必要はない。
これを併せて、P=e^(x+y)・log(1+y) と書くと
P={1+x+y+(1/2)x²+xy+(1/2)y²+高次項}・{y-(1/2)y² + (1/3)y³+高次項}
以下、必要な項(x,yについて3次以下の項)のみを書くと
P= y-(1/2)y²+ (1/3)y³
 +(x+y)・{y-(1/2)y²}
 +{(1/2)x²+xy+(1/2)y²}・y
これですべてである。あとは掛け算を実行して次数の順に書くと
P= y+xy+(1/2)y²+(1/2)x²y+(1/2)xy²+ (1/3)y³
となる。これが求める答えである。
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偏微分係数をひとつひとつ計算すると、わりかしたいへんです。



e^z のマクローリン展開 e^z = 1 + z + z^2 + z^3 + (zについて4次以上の項) より、
e^(x+y) = 1 + (x+y) + (x+y)^2 + (x+y)^3 + (x,yについて4次以上の項)
= 1 + x + y + x^2 + xy + y^2 + x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + (x,yについて4次以上の項).

また、log(1+y) のマクローリン展開は、log(1+y) = y - (1/2)y^2 + (1/3)y^3 + (yについて4次以上の項).

これを併せて、e^(x+y)・log(1+y) =
= {1 + x + y + x^2 + xy + y^2 + x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + (4次以上の項)}・{y - (1/2)y^2 + (1/3)y^3 + (4次以上の項)}
= y + xy + (1/2)y^2 + (1/2)xy^2 + x^2y + (5/6)y^3 + (4次以上の項)

最後の掛け算の展開は、
x,y について4次以上の項は後で微小項としてまとめてしまうことを前提に
低次の部分だけ計算すれば十分です。
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