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数学の質問なのですが、写真の2問の極限値の求め方を教えてください。

「数学の質問なのですが、写真の2問の極限値」の質問画像
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A 回答 (4件)


1-cosx=(1-cos²x)/(1+cosx)=sin²x/(1+cosx)
より
与式=Limx→0 sin²x/{(1+cosx)xsinx}
=Lim (sinx/x){1/(1+cosx)}
=1(1/2)
=1/2 (∵Limx→0 sinx/x=1)


与式=lim(x→0){(sinx/cosx)-sinx)}/x³}
=Lim (sinx/x){(1/cosx)-1}(1/x²)
=Lim (sinx/x){(1-cosx)/cosx}(1/x²)
=Lim (sinx/x){(1-cosx)/x²}(1/cosx)
(1-cosx=1-cos2(x/2)=2sin²(x/2)だから)
=Lim (sinx/x)・{2sin²(x/2)/x²}・(1/cosx)
=Lim (sinx/x)・[(1/2){sin²(x/2)/(x/2)²}]・(1/cosx)
「↑2sin²(x/2)/x²={2sin²(x/2)÷4}/(x²÷4)=(1/2){sin²(x/2)/(x/2)²」
=1・{(1/2)・1}・(1/1)
=1/2
(∵Limx→0 sinx/x=1 →Limx→0 sin(x/2)/(x/2)=1
Lim→0 sin²(x/2)/(x/2)²=Limx→0 {sin(x/2)/(x/2)}²=1)
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テイラー展開を代入しちゃうのは、どうかな。


sin x = x - (1/6)x^3 + (5次以上の項),
cos x = 1 - (1/2)x^2 + (4次以上の項),
tan x = x + (1/3)x^3 + (5次以上の項)
を代入して、整理すると
(1 - cos x)/(x sin x) = {(1/2) + (2次以上の項)}/{1 - (2次以上の項)},
(tan x - sin x)/x^3 = (1/3 + 1/6) + (2次以上の項)
となるので、x→0 の極限が判ります。

sin, cos のマクローリン展開なら知ってるが
tan の展開なんて覚えてないよ.という場合には、
tan x = (sin x)/(cos x) で一旦変形してから
(tan x - sin x)/x^3 = ((sin x)/(cos x) - sin x)/x^3
= (sin x)(1 - cos x)/(x^3 cos x)
へ代入すればよいでしょう。同じ結果になります。
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分母と分子に1+cosxを掛けて計算していけば高校の教科書で三角関数の微分を勉強した時に出て来た筈の形の式が見えてきます。

そこまで来れば求まるでしょう。
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lim(x→0){(1-cosx)/xsinx} = 1/2



lim(x→0){(tanx-sinx)/x³} = 1/2
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