速度の1乗に比例する抵抗が働く落下運動をtを消去してyをvの式で表すとどうなるでしょうか？ 初期条件

速度の1乗に比例する抵抗が働く落下運動をtを消去してyをvの式で表すとどうなるでしょうか？
初期条件はy(0)＝0とv(0)＝0です。

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： drmuraberg 回答日時： 2019/05/06 17:42

他の方の回答の③式から

-v(t)/(k/mg) = 1 - e^[-(k/m)t] 　　　　③’　　⇒
e^[-(k/m)t]=1+ v(t)/(k/mg) 　　 ⇒
-(k/m)t=ln｛1+ v(t)/(k/mg)｝　　　　　　　⇒
t=-(m/k) ln｛1+ v(t)/(k/mg)｝ ③“

③‘と③“を④に代入。
y(t) = -(mg/k)t - (m/k)^2 *g{ 1 - e^[-(k/m)t] }　　　④
=-(mg/k)t - (m/k)^2 *g｛-v(t)/(k/mg)｝
　 =-(mg/k)t +(m/k)v(t)
=(mg/k) (m/k) ln｛1+ v(t)/(k/mg)｝+(m/k)v(t)
=(m/k)^2*g ln｛1+ v(t)/(k/mg)｝+(m/k)v(t)

検算は忘れずに。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2019/05/07 12:26

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/05/06 15:55

加速度一定の落下運動

　a = -g
　v = ∫adt = ∫(-g)dt = -gt + v(0) = -gt
　y = ∫vdt = ∫(-gt)dt = -(1/2)gt^2 + y(0) = -(2/1)gt^2

抵抗が働く場合の落下運動
働く力は
　F = -mg - kv
従って、運動方程式は
　ma = -mg - kv
→　a = -g - (k/m)v
ここで、a = dv/dt ですから
　dv/dt = -g - (k/m)v 　　①
この微分方程式を解くには、
　v + (m/k)g = u
とおいて
　dv/dt = du/dt
より
　du/dt = -(k/m)u
これを変数分離で解いて
　∫(1/u)du = -(k/m)∫dt
→　ln|u| = -(k/m)t + C1
→　u = ±e^[-(k/m)t + C1] = C*e^[-(k/m)t]　　（C = ±e^C1）　　　②

u を v に戻して
　v + (m/k)g = C*e^[-(k/m)t]
→　v(t) = -mg/k + C*e^[-(k/m)t]
v(0) = 0 より
　v(0) = -mg/k + C = 0
→　C = mg/k
よって
　v(t) = -(mg/k){ 1 - e^[-(k/m)t] }　　　　③

これから落下変位を求めれば
　y = ∫vdt = -(mg/k)∫dt + (mg/k)∫e^[-(k/m)t]dt
　　= -(mg/k)t - (m/k)^2 *g*e^[-(k/m)t] + C3
y(0) = 0 より
　　-(m/k)^2 *g + C3 = 0
→　C3 = (m/k)^2 *g
よって
　y(t) = -(mg/k)t - (m/k)^2 *g{ 1 - e^[-(k/m)t] }　　　④

速度、変位の式は③、④ですが、ここから t を消去して、y を v だけで表せるかどうか、ご自分でやってみてください。
　y(t) = -(mg/k)t - (m/k)v　　　　⑤
とまでは書けるけど、完全に t を消去するのは無理でしょう。

③の落下速度は、t >> m/k であれば　v(t) → -mg/k　でほぼ一定になります。これが「終端速度」と呼ばれるもので、スカイダイビングなどでも一定時間落下した後落下速度はほぼ一定に落ち着きます。（重力と空気の抵抗がほぼつり合った状態）
落下速度がほぼ一定の「終端速度」に達しても、④あるいは⑤の落下距離（変位）は時間とともに増加していきます。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/05/06 14:26

ｙ＝ーｖ（１－a）

a：抵抗の比例常数(a<1)