https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11086908.html の質問の201

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11086908.html
の質問の2019.4.25.01:35分に回答していただいたmajimelon47様の回答に関して画像のような感じの図的に解いたり出来ますか？
出来ればmajimelon47様本人に答えて頂けるとありがたいです。

質問者からの補足コメント

• ちなみに、 cosθ=dy/dθに関してですが、正しくは cosθ=d sinθ/dθではないでしょうか？
  補足の画像の図と式から cosθ=d sinθ/dθと導けました。

  
    補足日時：2019/05/22 13:40

No.13 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/23 23:38

No.12の質問の答え

No.11の図で問題にしている曲線は単位円です。
dy/dxは単位円の点Bにおける傾き、すなわち円弧BCの傾きを表す。
dy/dx＝cosθ/(－sinθ)=－１/tanθ
その傾きは三角形BFCについて議論される。
補足の図に書いてある次の式は、No.11の図については間違っている。意味のない式です。
tanθ=－d cosθ/d sinθ＝dy/dx＝sinθ/cosθ

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
どうか、最新の私の図での1/ cos^2θの微分に関して助けて頂けないでしょうか。

お礼日時：2019/05/31 21:14

No.12 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/23 19:00

ちなみに、この計算から、dy/dx＝cosθ/(－sinθ)=－１/tanθ

という式を得た。
これは、図の中では何を表しているのか答えてみて下さい。
今、考えている曲線はx=cosθ、y=sinθで、これは単位円の方程式です。

No.11 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/23 15:30

１、No.9にあなたが書いたコメント：

ちなみに、 cosθ=dy/dθに関してですが、正しくは cosθ=d sinθ/dθではないでしょうか？
補足の画像の図と式から cosθ=d sinθ/dθと導けました。

cosθ=dy/dθは正しい式です。y=sinθを微分するとdy/dθ= cosθとなる。独立変数をxに変えると
y=sinｘを微分するとdy/dx= cosｘとなる。この式は教科書に書いてあって、あなたもおぼえているはずの式です。あなたが、なぜ、「cosθ=dy/dθに関してですが、正しくは cosθ=d sinθ/dθではないでしょうか？」と書いたのかというと、あなたの考えているdyが間違っているからです。あなたが補足した図で原点の隣にθと書いてあって、そのすぐ近くにdyとdxが書いてある。これをdyとdxと思ってはダメです。こんな所に、dyとdxを書いてはだめです。あなたは、これでtanθ=dy/dxが成立していると考えているのでしょうか。tanθ=dy/dxという式は、4月22の質問に出てきて、曲率円の計算には役に立たない式です。今の問題とは何の関係もないが、どこから出て来たのでしょうか。
あなたは単位円を使ったsinθの定義を知っていますか。下図で、単位円上の点Bの位相角は
∠AOB=θである。Bのy座標をsinθという。BGの長さがy=sinθである。点Cの位相角は
∠AOC=θ+dθである。Cのy座標はsin(θ+dθ) である。CHの長さがsin(θ+dθ)である。
その差CH－BG=CFがdyである。図で微小量の直角三角形BCFが拡大して書いてある。
斜辺BCは、長さdθの円弧であるが、dθが微小量だから、近似的に直線と見なす。
CF=BCcosθだから、dy=cosθdθとなる。
BG=y=sinθと置いたら、yの微分はdy=CF= sin(θ+dθ)－sinθ=cosθdθとなる。
点Bのx座標をcosθという。BDの長さがcosθである。点Cの位相角は
∠AOC=θ+dθである。Cのx座標はx=cos(θ+dθ) である。CEの長さがcos(θ+dθ)である。
その差CE－BD=BFがdxである。ここでは、dxはマイナスの量である。
図で微小量の直角三角形BCFが拡大して書いてある。
斜辺BCは、長さdθの円弧であるが、dθが微小量だから、近似的に直線と見なす。
CF=BCcosθだから、dy=cosθdθとなる。
BF= BC sinθだから、dx=－sinθdθとなる。
ここでも、BD=x=cosθと置いたら、xの微分はdx=BF=－sinθdθとなる。
これらの式をdθで割ると
y=sinθのとき、dy/dθ=cosθ
x=cosθのとき、dx/dθ=－sinθとなる。

２、No.10にあなたが書いたコメント：
ちなみに、cosθ=dy/dθは図から導かれましたが、この式は未定義でありますが成り立っているのでしょうか？
未定義であるため成り立たないという事はあるのでしょうか？

cosθ=dy/dθは未定義ではない。y=sinθを微分すると、dy/dθ=cosθという式は教科書に書いてあって、あなたもおぼえているはずの式です。Δθ→0の極限ではdy=0，dθ＝0となるので、0/0の違反になり、
未定義になる心配があると思ったのでしょうか。
復習：
未定義という言葉をおぼえるときは、0と0の四則(四則演算)と一緒におぼえて下さい。
四則とは、たし算、引き算、掛け算、割り算のことです。
0と0の四則とは：0+0＝0，0－0＝0，0×0＝0，0/0=未定義
です。未定義はやってはいけない計算ですから、もし未定義になったら計算の失敗です。
このことを踏まえて、あなたのコメントを言い換えると：
ちなみに、cosθ=dy/dθは図から導かれましたが、この式は失敗でありますが成り立っているのでしょうか？計算の失敗であるため成り立たないという事はあるのでしょうか？となります。
cosθ=dy/dθは計算の失敗ではないから、書いているのです。未定義の式の例をこれまでの説明文の中から取り出して示すと、cosθ=dx，2=1　があります。このような式を書くと、数学の基礎も知らないわけのわからないことをいう奴だと思われる。cosθ=dy/dθは図から導かれましたが、この式は未定義でありますがというと、cosθ=dy/dθは数学の基礎も知らないわけのわからない奴が書いたが、成り立っているのでしょうか？という意味です。あなたはこのように書いてはいけません・

３、0/0の違反を避ける方法は極限計算です。

図を使ってy=sinθからdyを計算すると、dy=d sinθ=cosθdθとなる。極限値では、この式は
0=0となるので、Δθ≠0を使った近似式としてΔy=Δsinθ≒cosθΔθとする。
これに「両辺をΔθで割ってからlimΔθ→0の極限をとる」の操作を行うと
limΔy/Δθ=limΔsinθ/Δθ=cosθ。極限をとるとdy/dθ= d sinθ/dθ=cosθ。
このような操作を行うことを前提としてΔy=Δsinθ≒cosθΔθの近似式のΔをdに書き換え、
≒を=に書き換えるという特別ルールを使った式が、dy=d sinθ=cosθdθである。
微分法の復習：
あなたは微分法の定義を習ったでしょう。y=sinθを微分するときどんな式を書いたか
Δy/Δθ={sin(θ+Δθ)－sinθ}/Δθ
ここでいきなりΔθ=0とすると右辺は0/0の違反になるのでΔθ≠0としΔθ→0の極限を取る。
Δθは0に無限に近付くが、0にはならない。だから未定義には決してならない。
これが、極限を使った計算方法です。
形式的には、dy/dθ=d sinθ/dθ=cosθに、単に各辺にdθをかけたことになる。
これをそのまま認めて、dy=(dy/dθ)dθを定義とする。
y=f(x)の場合はyの微分はdy= f ’(x)dxを定義とする。

No.10 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/21 22:29

ちなみに、 cosθ=dy/dxの場合もdyとdxは微小になるため、 cosθ=0となるのでしょうか？

また、 sinθ/ cosθ=dy/dxとした際にdyとdxは微小でありますが、なぜdy/dxが微分なのに sinθ/ cosθは=0とならないのでしょうか？
少し混乱してしまいすいません。

混乱すると出口が分からなくなるので、正解を示します。
１、cosθ=dy/dxは間違いです。No.2とNo.4を見ても、xは出て来ない。
正解はcosθ=dy/dθです。cosθ=dy/dθの場合もdyとdθは微小のため、 cosθ=0/0となる。
No.５に出てきたcosθ= dxは、dxは微小のため、cosθ=0となった。
cosθ=0とcosθ=0/0とは事情が違う。
２、0/0はわかったのですか。
方程式bx=aを解くと、x=a/bとなる。
ここでa=0、b=0とするとx=0/0となり、方程式bx=aは0x=0となる。
x=4は方程式の解でしょうか。x=4を方程式0x=0に入れると0×4=0となり、方程式を満足する。
x=0は方程式の解でしょうか。x=0を方程式0x=0に入れると0×0=0となり、方程式を満足する。
x=4，0以外でも、どんな数でも方程式0x=0を満足する。そこでx=0/0を不定といい、さらに未定義という。未定義とはx=0/0をどの数にも決められないので、決めないことにするのです。そのため、
0÷0という計算をしてはいけないうのが数学のキマリです。このキマリに違反して0/0=0という勝手な計算をしてcosθ=0とすると、sinθ=1という思い掛けない答えが出る。
３、昔から知られている次の計算の間違いを指摘して下さい。
①任意の二数をx，yとし、x=yが成立すると仮定する。
②両辺にxをかけると、x²=xyとなる。
③両辺からy²を引くと、x²－y²=xy－y²となる。
④因数分解すると、(x－y)(x＋y)=(x－y)yとなる。
⑤共通因数(x－y)でわると、x＋y=yとなる。ここから次の(１)(２)に分かれる。
(１)
⑥x=1，y=1とすると、これを⑤式に入れると、2=1である。
(２)
⑥　式⑤の両辺からyを引くと、x=0となる。
⑦ゆえに任意の二数をx，yとし、x=yが成立すると、x=y=0である。
x=yという関係からx－y=0となるので、式④の両辺は0=0です。
これをx－yで割ると0/0のルール違反だから、式⑤とはならない。
あなたはルール違反をしないように計算しなければならない。
0/0の違反を避ける方法は極限計算である。
４、極限計算の練習問題
　y=(2x²－2x)/(x－1)のときlim[x→1]yを計算せよ。
この式に、いきなり、x=1を入れると、y=0/0の違反になる。x≠1としてyを計算すると
y=(2x²－2x)/(x－1)=2x(x－1)/ (x－1)=2x。x≠1なら約分ができる。よって
lim[x→1]y= lim[x→1]2x=2
５、y=sinθの微分式は
図を使ってy=sinθからdyを計算すると、dy=d sinθ=cosθdθとなる。極限値では、この式は
0=0となるので、Δθ≠0を使った近似式としてΔy=Δsinθ≒cosθΔθとする。
これに「両辺をΔθで割ってからlimΔθ→0の極限をとる」の操作を行うと
limΔy/Δθ=limΔsinθ/Δθ=cosθ。極限をとるとdy/dθ= d sinθ/dθ=cosθ。
このような操作を行うことを前提としてΔy=Δsinθ≒cosθΔθの近似式のΔをdに書き換え、
≒を=に書き換えるという特別ルールを使った式が、dy=d sinθ=cosθdθである。
形式的には、dy/dθ=d sinθ/dθ=cosθに、単に各辺にdθをかけたことになる。
これをそのまま認めて、dy=(dy/dθ)dθを定義とする。
y=f(x)の場合はyの微分はdy= f ‘(x)dxを定義とする。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、cosθ=dy/dθは図から導かれましたが、この式は未定義でありますが成り立っているのでしょうか？
未定義であるため成り立たないという事はあるのでしょうか？

お礼日時：2019/05/22 02:46

No.9 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/21 01:48

よくよく考えたら cosθ=dy/dxの時は sinθ=1となりθが90°となってしまうためダメなことがわかりました。

>

こんな答えでは、ダメです。No.2とNo.4の回答を正しく読んでいない。
１、cosθ=dy/dxは間違いです。sinθ=1とはなりません。
cosθ=dy/dxの右辺の分母にあるxは、どこから来たのですか。No.2とNo.4の回答の中からxを探して下さい。それが分かると、正しい式がわかる。
２、0÷0はわかったのですか。
ヒント：方程式bx=aを解くと、x=a/bとなる。これを使うと、0/0がわかる。
　　　　x=4は方程式の解でしょうか。x=0は方程式の解でしょうか。
方程式 bx = aは下記の記事を検索すると出てくる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ゼロ除算
３、昔から知られている次の計算も書いてある。間違いを指摘して下さい。
①任意の二数をx，yとし、x=yが成立すると仮定する。
②両辺にxをかけると、x²=xyとなる。
③両辺からy²を引くと、x²－y²=xy－y²となる。
④因数分解すると、(x－y)(x＋y)=(x－y)yとなる。
⑤共通因数(x－y)でわると、x＋y=yとなる。ここから次の(１)(２)に分かれる。
(１)
⑥x=1，y=1とすると、これを⑤式に入れると、2=1である。
(２)
⑥　式⑤の両辺からyを引くと、x=0となる。
⑦ゆえに任意の二数をx，yとし、x=yが成立すると、x=y=0である。

この回答へのお礼

ちなみに、 cosθ=dy/dθに関してですが、正しくは cosθ=d sinθ/dθではないでしょうか？
補足の画像の図と式から cosθ=d sinθ/dθと導けました。

お礼日時：2019/05/22 13:40

No.8 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/20 19:05

図を使っての sinθの微分は出来ました。

ちなみに、 cosθ=dy/dxの場合もdyとdxは微小になるため、 cosθ=0となるのでしょうか？>

図を使ってy=sinθからdyを計算すると、または、図は使わずに普通の微分計算で
y=sinθを微分しても、cosθ=dy/dxにはなりません。
No.2とNo.4でy=tanθとy=cosθの微分の計算を示してあるのだから、
それをよく見て、dyを計算して見てください。
それから、「両辺をΔθで割ってからlimΔθ→0の極限をとる」を実行して見て下さい。その結果から
cosθ=dy/dxの場合もdyとdxは微小になるため、 cosθ=0となるかどうか判定してください。
cosθ=dy/dxという間違った式から言えることは、dyとdxは微小になるため
0/0になることです。0/0は数学では、いくつになるのでしょうか？
0+0=0，0-0=0，0×0=0です。では0÷0=知っていますか？
(これは基本事項です)

あなたと問答をしていると、５回連続で、行き違いの議論です。そろそろ、正しい筋に乗った議論にしたいものです。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
よくよく考えたら cosθ=dy/dxの時は sinθ=1となりθが90°となってしまうためダメなことがわかりました。

お礼日時：2019/05/20 21:14

No.7 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/20 04:05

「使うｘときは」は操作ミスで「使うときは」の間違いでした。

No.6 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/20 03:59

cosθ=dxの場合、1/ cos^2θをd tanθ/dθと変換しないで、1/ cos^2θを1/dx^2とすれば式として使えるのでは無いかなと思いました。

>

cosθ=dxの場合、これを前提に計算すると、dxは微小量で、
Δx→０の極限を取ると、dx=0となるのでcosθ=0です。θ=90°±180°×nの場合です。その時、tanθ=±∞です。そのとき、d tanθ/dθ=1/cos²θとなり、1/cos²θ＝∞となるが、これを1/dx²と表現することはできません。
cosθ=dxと1/ cos²θ＝1/dx²は、1＝０やx=1/0²と同じくらいに、数学的にはあり得ない記号なので、使うときは、どういう意味で書いたのか説明を付けて下さい。説明なしに使うと、数学の基礎も解ってない人と言われます。
No.1投稿氏も書いています。「だから、dθ とか dtanθ とか、微分係数じゃない「微分」の話を図で考えるのはやめなさいって。微小量は図に書けないんだから。
何度も言っているでしょう？」。
微分係数じゃない「微分」のdを、あなたはルール違反の方法で勝手に使いすぎるのです。dｘを使うｘときは「両辺をΔxで割ってからlimΔx→0の極限をとる」を実行して、等号が成り立つことを確認して下さい。
「cosθ=０の場合のみ1/ cos^2θは使えるのかも」というのは間違いです。
「cosθ=０の場合は1/ cos²θ=∞となるので、計算に使えないが、他のときは
dtanθ/dθ=(d²y/dx²)･(dx/dθ)＿⑦となる。」。⑦はNo.5投稿の中の式⑦です。
この式の中のdx/dθが分からないと、この式は使えません。これを解決する方法は二つあるように思える。⑦の両辺にdθをかけてdtanθ=(d²y/dx²)dx＿⑧とすること。もう一つは、曲線の方程式をy=f(x)と仮定して、tanθ=f ’(x)からxを解いて、dx/dθを求めることで、これはすでに、この問題の初めのころに述べた。しかし、これは計算するとdtanθ=f ’'(x)dxとなり、⑧と同じ結果になってしまう。
　所で、図を使ってdsinθを計算することはできましたか。できたら
「両辺をΔθで割ってからlimΔθ→0の極限をとる」を実行してみて下さい。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
図を使っての sinθの微分は出来ました。
ちなみに、 cosθ=dy/dxの場合もdyとdxは微小になるため、 cosθ=0となるのでしょうか？
また、 sinθ/ cosθ=dy/dxとした際にdyとdxは微小でありますが、なぜdy/dxが微分なのに sinθ/ cosθは=0とならないのでしょうか？
少し混乱してしまいすいません。

お礼日時：2019/05/20 14:56

No.5 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/19 21:49

dtanθは tanθ=dy/dxという理由よりd(dy/dx)になるという事でしょうか？>

この質問は、二つの点で、問題があります。
１、一応、それは正しいが、「理由」というより「原因」というべきです。
No.3の例え話では、Aには「x=1と考えよ。」とあり、文書Bには「x+1=2である。」と書いてあるとき、Aは原因でBは結果です。原因が無ければ、結果はありません。理由という場合は、原因はすでに存在して既定のものとなっている時、それを論拠とする、という意味であり、ちょっと主張がずれる。。
その背後の意味は、tanθ= dy/dx＿①という前提を置くことは、曲率を計算する目的には、役立たないので、そんな前提は置くな。あるいは、置くのは自由だが、それを追求しても有意義な発展はないので、それ以上、関わるな、という意味です。それでも、あなたは追求をやめないで質問を続けるので、少し検討すると、
dtanθ=d(tanθ)＿②という式は恒等式として成立します。この右辺に①を代入すると
dtanθ=d(dy/dx)＿③が導出できます。これから先へ進もうとすると、さらに別の前提が必要で、例えばフレネ・セレの公式を勉強すれば、平面曲線だけでなく空間曲線の曲率がわかる。
２．もう一つの問題は、結果を表現する式の形式です。tanθ= dy/dx＿①　という前提を置いたとき、その結果のdtanθは d(dy/dx)になる、ということを、dtanθ= d(dy/dx)＿③という式で書くことは、できません。なぜでしょうか。式③は微分記号dを使った式だから、微分学の特別ルールを使う必要があることを忘れないで下さい。もし特別ルールを使わなないなら、③の左辺のdtanθは微小量だから、極限的には0です。そして、③の右辺のd(dy/dx)は微小量だから、極限的には0です。結局③は0=0＿④という式になります。上記のあなたの質問が、tanθ=dy/dxという理由より0=0でしょうか？となるのは、
質問の趣旨に沿わないでしょう。
特別ルールを使うことにすると、「両辺をΔθで割ってからlimΔθ→0の極限をとる」ことを前提に
Δθをdθと書くことにする。ここで、ちょっと、注意をはさむ。No.2の回答の中で「両辺をΔθで割ってからlimΔθせつめい→0の極限をとる」と書いた所があったが、せつめいの4文字が間違って挿入されたので訂正します。
もう一つの方法は, 「両辺をΔxで割ってからlimΔx→0の極限をとる」ことを前提にΔxをdxと書くことにする。という方法です。式はどちらをとるか不明で、あいまいなので、公式に認められる式ではありません。それで、式③は使えません。θとxのどちらを独立変数と考えるか。どちらでもよいが、それが明らかになるような式を使って下さい。
(１)式①tanθ=dy/dxの両辺をxで微分すると、すなわち、両辺に(d/dx)を付けると
(d/dx) tanθ=(d/dx)dy/dx。
dtanθ/dx=(d²y/dx²)＿⑤
式⑤は正しい式です。この両辺にdxを掛けると
dtanθ=(d²y/dx²)dx＿⑥
⑥は③とほとんど同じ式だが、⑥では、xが独立変数だと思えるなら使うことが許されるでしょう。
(２)式①tanθ=dy/dxの両辺をθで微分すると、すなわち、両辺に(d/dθ)を付けると
(d/dθ) tanθ=(d/dθ)dy/dx。　右辺は関数の関数の微分公式を使って
dtanθ/dθ=(d/dθ)dy/dx=(d/dx)dy/dx･(dx/dθ) =(d²y/dx²)･(dx/dθ)＿⑦
両辺にdθを掛けるとdtanθ=(d²y/dx²)･(dx/dθ)dθ=(d²y/dx²)dx＿⑧
⑧は⑥と同じで、結果は、式①tanθ=dy/dxと置かなかったときのテーラー展開の式に戻る。⑥と⑧のいずれを使っての、曲率半径の式にはd²y/dx²を使うことになる。
フレネ・セレの公式では、曲線の長さを独立変数としていて、また異なる式が出てくる。

cosθ=dxの場合のみ1/ cos^2θは使えるのかもしれませんが、>

cosθ=dxという式は、どこから出てきたのですか。この式は使ってはダメです。なぜでしょうか？
この式はdという文字を含んでいるのでdx→０の極限で等式が成立するから、右辺は0である。
すると、上記のあなたの文は、「cosθ=０の場合のみ1/ cos^2θは使えるのかも」となる。
これは私には意味不明。多分、あなたにも意味不明でしょう。いったい、何を言いたいのか。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
例えば tanθ= sinθ/ cosθ=dy/dxにおいて
cosθ=dxの場合、1/ cos^2θをd tanθ/dθと変換しないで、1/ cos^2θを1/dx^2とすれば式として使えるのでは無いかなと思いました。
cosθ=dxと同じ値になることはあると思うのですが、
どうかよろしくお願いします。

ちなみに、その場合、d tanθ/dθと変換した場合の式との近似の精度の差は出るのでしょうか？

お礼日時：2019/05/19 23:37

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/18 02:44

No.2の方法で図を使うとcosθの微分ができるからやって見よう。

xy平面上に半径OA＝１の単位円を描く。∠AOB=θ、∠BOC＝dθ
とする。点Bからy軸に垂線BDを下ろすとBD＝cosθ。
点Cからy軸に垂線CEを下ろすとCE＝cos(θ+dθ)である。
点Cからx軸に垂線を下ろし、直線BDとの交点をFとする。
dθが微小量の時、円弧BCは近似的に直線で、BC＝dθである、
三角形BCFは直角三角形である。∠OBD=θである、
∠OBC=直角だから∠BCF=θである、
BF=BCsinθ=sinθdθとなる。
するとdcosθ= cos(θ+dθ)－cosθ= CE－BD＝－BF=－sinθdθ
ゆえにdcosθ=－sinθdθ、dcosθ/dθ=－sinθ
練習問題として、sinθの微分も計算してみよう。