R=(x,y,z) r=|R| f(r)はrの関数とするとき、
▽^2f(r)=f"(r)+2/r*f'(r)
が成り立つことを証明せよって問題なのですが、どなたか解放を教えてもらえませんか。
ちなみに▽^2はラプラシアン、Rはベクトルです。

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A 回答 (2件)

f(r)をxで微分すると


∂f/∂x=∂f/∂r*∂r/∂x

これをもう1度xで微分して
∂^2f/∂^2x=(∂^2/∂^2r)*(∂r/∂x)^2+(∂f/∂r)*(∂^2/∂x^2)
(yとzについても、微分して求め、これら3式を加える)

ここで
r^2=x^2+y^2+z^2
r∂r/∂x=x
∂r/∂x=x/r

であるので
∂^2r/∂x^2=1/rー(x/r^2)*(x/r)=1/rー(x^2/r^2)*(1/r)
∂^2r/∂y^2=1/rー(y/r^2)*(y/r)=1/rー(y^2/r^2)*(1/r)
∂^2r/∂z^2=1/rー(z/r^2)*(z/r)=1/rー(z^2/r^2)*(1/r)

この3式を辺々加えて
∂^2r/∂x^2+∂^2r/∂y^2+∂^2r/∂z^2=3/rー1/r=2/r

これらから求めることが出来ます。
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この回答へのお礼

 brogieさん、わかりやすい解答ありがとうございました。
大変助かりました。
 siegmundさんも極座標でやる方法は、授業で習ってなかったので、大変ためになりました。
 またよろしくお願いします。

お礼日時:2001/07/31 23:44

ラプラシアンの極座標表現


(1)  ∇^2 = (1/r^2)(∂/∂r)(r^2・∂/∂r)
       + (1/r^2 sinθ)(∂/∂θ)(sinθ・∂/∂θ)
       + (1/r^2 sin^2 θ)(∂^2/∂φ^2)
を知っていれば一発ですが,これは反則かな?
f(r) は r だけの関数で,θやφには無関係ですから,
計算は簡単ですね.

ただし,ラプラシアンの直角座標表現から(1)の極座標表現を求めるには,
結局 brogie さんと似たようなことをやらないといけません.
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Qラプラシアンの物理的な意味

ラプラシアンが、物理的側面から、どのような意味を持つのか想像できません。

ΔA=∇^2 A= div grad A
ラプラシアンが勾配の発散であることは、数学的に理解できます。
また、勾配、発散(湧き出し)はイメージできます。

しかし、勾配の発散のイメージが分かりません。
googleで調べてみましたが、検索方法が悪いのか、理解できるページが見つかりませんでした。
Gooにも該当する質問はないようです。

初歩的な内容で恥じ入るばかりですが、
どなたか、「勾配の発散のイメージ」をご教授ください。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>gradならば、「坂道の勾配」などで説明されると思うのですが、そのようなイメージ的なニュアンスで…。

いい線行っているのではないでしょうか?
勾配というのは,要するに傾きですよね。発散場のベクトルは最大勾配を下る向き。山をちょろちょろ下る水の流れのようなものです。「ちょろちょろ」でなくてはなりませんが,イメージとしては十分。
山肌は2次元面なのに対して,3次元空間のポテンシャルの勾配というのをイメージできないのは,しかたのないことです。むしろポテンシャルAに対する理解が十分かどうかが問われるでしょう。たとえば,密度減少の最大勾配方向に向かう流れベクトル・・・などはいかがでしょう。そうした具体的な場面に適用していくことで,ラプラシアンのイメージができていくと思います。本来が数学的抽象的な概念なのですから,イメージをつくるにはアナロジーと応用を知る以外にはないのではないでしょうか?

Q円筒座標系でのナブラ、ラプラシアン

流体力学のナビエ・ストークス方程式を
勉強しています。

途中で、円筒座標系における
ナブラ∇、およびラプラシアンΔ
が出てきて、
∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)
Δ=∂^2/∂r^2 + ∂/r∂r + ∂^2/(r^2∂θ^2) + ∂^2/∂z^2
となっています。
なぜ、変なところでrで割り算したり、
ラプラシアンの項が四つになったりしているのでしょうか。
どなたか分かる方、教えていただきたいです。

Aベストアンサー

 
 
 円筒(または円柱)座標ですね;

  x → r  長さ→長さ
  y → θ 長さ→角度
  z → z  長さ→長さ

 時計の針がちょっと回転したとき、先端の動きは 針の長さ方向と直交してますね。x と y のように。
針の長さを r、ちょっとの回転角度を dθ とすれば
先端の動きは r dθ です。
dr を dx だとすれば、それに直交する dy は r dθです、
つまり、
  ∇=(∂/∂x, ∂/∂y,   ∂/∂z)
  ∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)


 △の方は、(r^2∂θ^2) が dy^2 だと気付いて欲しいんですが、微分の基本の公式
  (fg)' = f'g + fg'
で、項を増やしたあとのようですね。
ご自分で確認してください。
 
 

Qf(2x)=2f(x) の両辺を微分すると 2f'(2x)=2f'(x) となることの証明

f(2x)=2f(x) の両辺を微分するとどうなるか?
答えは 2f'(2x)=2f'(x) でした。なんとなくそうなることは
わかります。でも証明ができません。具体例を作って実験して
成功しても、成功例がひとつあることは証明にはなりませんよね?
どうやったら証明、あるいは納得できるでしょうか?

Aベストアンサー

導関数の定義式から
f(2x)の導関数
=lim[h→0]{f(2(x+h))-f(2x)}/h
=lim[h→0]{f(2x+2h)-f(2x)}/h
=lim[h→0] 2{f(2x+2h)-f(2x)}/2h
(2h=k とおくと)
=lim[k→0] 2{f(2x+k)-f(2x)}/k
=2f ' (2x)

QTeXについて

TeXについて質問です。

Easy TeXを使っています。
ですが、コンパイルができません。
TeXのほかに何かインストールしなければならないらしいのですが、何かわかりません!!
どなたかインストールできるURLなど教えてください!!

回答よろしくお願いします!!

Aベストアンサー

ご参考になるかどうか,分かりませんが,下記のサイトをご紹介します.

● TeX を取得できるサイト:
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/texinst98.html

http://www.iterasi.net/openviewer.aspx?sqrlitid=tb8dveicleorxfkraj8uzg

● 日本語TeXのインストールのチェック
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/tex_instchk.html

● dviout
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviouttips.html

http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviout-ftp.html

● 『[改訂版]LaTeX2e 美文書作成入門』
http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/texfaq/bibun2e.html

● 大島利雄氏サイト
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/ftp-j.html

●  TeX Q & A
http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/texfaq/qa

「TeX Q & A」は, TeX に関する諸々のQAを扱い,
ほとんどの質問に専門家などの方々が回答を寄せてくれます.

参考URL:http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/texinst98.html

ご参考になるかどうか,分かりませんが,下記のサイトをご紹介します.

● TeX を取得できるサイト:
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/texinst98.html

http://www.iterasi.net/openviewer.aspx?sqrlitid=tb8dveicleorxfkraj8uzg

● 日本語TeXのインストールのチェック
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/tex_instchk.html

● dviout
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviouttips.html

http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviout-ftp.html

● 『[改訂版]LaTeX2e 美文書作成入門』
http://oku.ed...続きを読む

Q(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](xi),(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]||^2ならばXは完

お世話になっています。

[Q]X={x1,x2,…,xn}を内積空間Vの正規直交集合とせよ。この時,次の(i),(ii)を示せ。
(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](<x,xi>xi)
(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完全

完全の定義は「正規直交集合Xが完全とはVの中での最大個数の正規直交集合の時,Xを
完全と言う」です。
つまり,#X=max{#S∈N;(V⊃)Sが正規直交集合}を意味します。

証明で行き詰まっています。

(i)については
x∈Vを採ると,spanX=Vよりx=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
これからΣ[i=1..n](<x,xi>xi)にどうやって持ってけばいいのでしょうか?

あと,(ii)についてはさっぱりわかりません。
何か助け舟をお願い致します。

Aベストアンサー

>x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
<xi,x>を計算すれば終わり

>(ii)についてはさっぱりわかりません
「任意の」x∈Vに対して
∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2
ならばXは完全

x1,...,xnとは異なるyをとり,
x1,...,xn,yが正規直交であると仮定する.
||y||^2 = Σ[i=1..n]|<y,xi>|^2を計算すれば
矛盾がでてくる.

QTeX原稿ファイルのMIMEタイプは?

ホームページを開設しようかと,プロバイダ(ぷらら,@niftyでも同じ)のHP用のMIMEタイプ一覧表を見ていたのですが,TeXの文書はapplication/x-texとなっています.
TeXの原稿は明らかにテキストファイルのはずですが,なぜapplicationなのでしょう?

TeXはそれなりに使い慣れているのですが,そもそもMIMEがメールの添付ファイル用のヘッダだということは今日知ったもので…

Aベストアンサー

texはテキストエディタで開いてもふつうには読むことが出来ませんね?
コマンド(と言ったか?)に文字が紛れているのが普通です。
そこで、texを普通に(読むだけなら余分なコマンドを表示しないよう)見せるためにコンパイルする必要があります。ということは、テキストファイルではあっても何らかの処理が必要になるのでMIMEタイプを指定する必要があると言うことになります。

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

QtexでText line contains an invalid characterというエラーがやたら出る

先日OS(windowsXP)を入れなおして、texを入れました。
OSを入れなおす前と同様にやったようにやったのですが、
変なエラーがやたらでてきます。
\documentclass[a4paper,12pt]{jarticle}
\usepackage[dviout]{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\textheight}{23cm}
\setlength{\topmargin}{-1cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\makeatletter
\newcommand{\figcaption}[1]{\def\@captype{figure}\caption{#1}}
\newcommand{\tblcaption}[1]{\def\@captype{table}\caption{#1}}
\makeatother

\begin{document}

文章

\end{document}

これで、
tex文書 1.tex(101): エラー: ! Illegal unit of measure (pt inserted).
tex文書 1.tex(101): エラー: ! LaTeX Error: Missing \begin{document}.
tex文書 1.tex(101): Overfull \hbox (14.70819pt too wide) in paragraph at lines 101--289
tex文書 1.tex(624): エラー: ! Text line contains an invalid
            省略
tex文書 1.tex(639): エラー: ! Text line contains an invalid character.
tex文書 1.tex(2): エラー: ! File ended while scanning use of \@argdef.

というように書いてない部分でエラーが出てしまいます。
\begin{document}より上の部分は以前使っていたものをそのまま使って
います。この部分を消しても変わりませんでした。
どうしたらエラーをなくせるか教えてください。
よろしくお願いします。

先日OS(windowsXP)を入れなおして、texを入れました。
OSを入れなおす前と同様にやったようにやったのですが、
変なエラーがやたらでてきます。
\documentclass[a4paper,12pt]{jarticle}
\usepackage[dviout]{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\textheight}{23cm}
\setlength{\topmargin}{-1cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\makeatletter
\newcommand{\figcaption}[1]{\def\@captype{figure}\caption{#1}}
\newcomm...続きを読む

Aベストアンサー

コンパイルにWinShellを使っていると思います。
WinShellの設定が日本語用にされていないので、英語版のlatex.exeが
動き、エラーが出ていると思います。
一度、WinShellの設定を確認してみてください。

Q∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}

∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}
という重積分について質問です。∫∫【D】2x|y|dxdyと∫∫【D】2xydxdyってどう違いますか?

この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど、理屈としては、y座標が負になっている部分をx軸に関して折り曲げた結果として、図形がx軸に関して対称だったために、y座標が正の部分を2倍することになったと考えればよいのでしょうか?
言葉が下手で、伝わりにくい文章ですみません。

Aベストアンサー

>この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど

本当にそうなります?
2xyはyについて奇関数、2x|y|はyについて偶関数です。
前者をx軸について対称な領域で積分すると"0"に、後者を同じ領域で積分するとx軸よりも上側の領域での積分の2倍になります。