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R=(x,y,z) r=|R| f(r)はrの関数とするとき、
▽^2f(r)=f"(r)+2/r*f'(r)
が成り立つことを証明せよって問題なのですが、どなたか解放を教えてもらえませんか。
ちなみに▽^2はラプラシアン、Rはベクトルです。

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A 回答 (2件)

ラプラシアンの極座標表現


(1)  ∇^2 = (1/r^2)(∂/∂r)(r^2・∂/∂r)
       + (1/r^2 sinθ)(∂/∂θ)(sinθ・∂/∂θ)
       + (1/r^2 sin^2 θ)(∂^2/∂φ^2)
を知っていれば一発ですが,これは反則かな?
f(r) は r だけの関数で,θやφには無関係ですから,
計算は簡単ですね.

ただし,ラプラシアンの直角座標表現から(1)の極座標表現を求めるには,
結局 brogie さんと似たようなことをやらないといけません.
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f(r)をxで微分すると


∂f/∂x=∂f/∂r*∂r/∂x

これをもう1度xで微分して
∂^2f/∂^2x=(∂^2/∂^2r)*(∂r/∂x)^2+(∂f/∂r)*(∂^2/∂x^2)
(yとzについても、微分して求め、これら3式を加える)

ここで
r^2=x^2+y^2+z^2
r∂r/∂x=x
∂r/∂x=x/r

であるので
∂^2r/∂x^2=1/rー(x/r^2)*(x/r)=1/rー(x^2/r^2)*(1/r)
∂^2r/∂y^2=1/rー(y/r^2)*(y/r)=1/rー(y^2/r^2)*(1/r)
∂^2r/∂z^2=1/rー(z/r^2)*(z/r)=1/rー(z^2/r^2)*(1/r)

この3式を辺々加えて
∂^2r/∂x^2+∂^2r/∂y^2+∂^2r/∂z^2=3/rー1/r=2/r

これらから求めることが出来ます。
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この回答へのお礼

 brogieさん、わかりやすい解答ありがとうございました。
大変助かりました。
 siegmundさんも極座標でやる方法は、授業で習ってなかったので、大変ためになりました。
 またよろしくお願いします。

お礼日時:2001/07/31 23:44

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