正規分布を割り算した分布

２つの別々の正規分布を割り算した場合その分布はどうなりますか
例えばきゅうりとトマトの重さの比みたいなのです
この分布の分散はいくらになりますか

質問者からの補足コメント

• もう1つ質問したいことがありまして
  No.1の返信にあるコーシー-ローレンツ分布と、
  z=x/yの分布は関連しますか

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/05/15 01:00

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2019/05/11 11:12

> きゅうりとトマトの重さの比

きゅうりやトマトの重さは、あきらかに正規分布に従わない。正規分布は裾野が無限に広がっているのだけれども、0 グラムより軽いきゅうりはないから。

　それはさておき、確率変数x, yが独立で、xの確率密度関数がξ(x)、yの確率密度関数がυ(y)だとすると、
　　z = x / y
の確率密度関数ζは　
　　ζ(z) = ∫{-∞～∞} ξ(yz)υ(y) dy （∫{-∞〜∞} は「-∞から∞までの定積分」という意味）
となるでしょ。ご質問はξとυが正規分布
　　ξ(x) = K exp(-(x-mX)^2 / (2 sX^2))
　　υ(y) = L exp(-(y-mY)^2 / (2 sY^2)) （K, Lは定数）
の場合なので、
　　ζ(z) = K L ∫{-∞～∞} exp(-((yz-mX)^2)/(2sX^2) - ((y-mY)^2)/(2sY^2))dy
ということ。この式のexpの中身はyの2次式 (-a y^2 + b y + c) なので a＞0のときに限りこの積分は収束し、
　　ζ(z) = K L (π/a) exp( c + (b^2)/(4a) )
となる。
　　a = (z^2)/(2sX^2) - 1/(2sY^2)
　　b = z mX/(sX^2) + mY/(sY^2)
　　c = - (mX^2)/(2sX^2) - (mY^2)/(2sY^2)
だから、a＞0となる必要十分条件は
　　|z| ＞ sX /sY
つまり、
　　|z| ≦ sX /sY
の場合にはζ(z)が発散するな。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

最後の|z| ＞ sX /sYのあたりがちょっとわからないのですが
標準偏差がxとyの分布で同じとした場合
|z|>1のときに発散しないということでしょうか
このときのzはどちらを表しますか
z = x / yのzでしょうか
その場合はxとyは変動するのでこのzも変動しますが
|z|>1の範囲のzだけ確率が求められるということでしょうか

お礼日時：2019/05/15 00:59

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/11 02:48

正規分布する変量の比は、コーシー-ローレンツ分布の名で知られています。

有名な分布で、その密度関数、累積分布関数は、どこそこに掲載されていますから、
Wikipedia でも見てください。この分布は、分散が発散してしまいます。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます

コーシー-ローレンツ分布をしらべてみますが、
No.2の方とこの返信は異なるようです

お礼日時：2019/05/15 00:55