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n解の微分方程式の一般解とはn個の任意定数を含んだ解だと思っていたのですが,正しくは微分方程式の解全てを任意定数を使って表したものという事でしょうか?n個の任意定数を含んでいたとしても全ての解を表していない時などがあるのでしょうか?

A 回答 (4件)

違います


特異解をもつことがあります
例としてはリッカチの微分方程式,ydx-xdy=a√(dx^2+dy^2)など
ちなみに後者はx^2+y^2=a^2という特異解をもちます
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ああ、いかん。

No.2 は言っていることがめちゃくちゃだ。
ベッセル方程式は斉次線型だし。
反省して、今日はもう寝よう。

ちな、No.1 の例↓
https://physnotes.jp/diffeq/diffeq_clairaut/
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n階線型微分方程式だと、解が n 次アフィン空間をなすので、任意定数の役割が明瞭ですが、


非線形だと難しいですね。例えば、有名どころでは、これ↓なんか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%83 …
2階非線型微分方程式ですが、系統の異なる2種類の解を持ちます。
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「特異解」を持つことがあってね....

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