No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(2) 定義に戻って
f'(x) = lim[h→0]{ [f(x + h) - f(x)]/h }
を使って
f'(-x) = lim[h→0]{ [f(-x + h) - f(-x)]/h }
ここで、f(x) = f(-x) なので
f(-x + h) = f(- (-x + h) ) = f(x - h)
よって
f'(-x) = lim[h→0]{ [f(x - h) - f(x)]/h }
ここで
k = -h
とおけば、h→0 のとき k→0 で、f(x - h)=f(x + k) なので
f'(-x) = lim[k→0]{ [f(x + k) - f(x)]/(-k) }
= - lim[k→0]{ [f(x + k) - f(x)]/k }
= - f'(x)
よって
f(x) = - f'(-x)
(3) 同様に
f'(x) = lim[h→0]{ [f(x + h) - f(x)]/h }
を使って
f'(-x) = lim[h→0]{ [f(-x + h) - f(-x)]/h }
ここで、f(x) = - f(-x) なので
f(-x + h) = - f(- (-x + h) ) = - f(x - h)
よって
f'(-x) = lim[h→0]{ [-f(x - h) + f(x)]/h }
= lim[h→0]{ [f(x) - f(x - h)/h }
ここで、いったん右辺の変数名を変えて
lim[h→0]{ [f(y) - f(y - h)/h }
とし、さらに
y - h = x
とおけば、y = x + h なので
f'(-x) = lim[h→0]{ [f(x + h) - f(x)]/h }
= f'(x)
よって
f(x) = - f'(-x)
No.3
- 回答日時:
証明せよと来れば、背理法か対偶が便利です。
今回は#1さんで直接証明できますが背理法でしてみましょう。(2)f(x)≠f(-x)と仮定した場合。
f’(x)=df(x)/dx=df(x)/dx*dx/dx=f’(x)
-f’(ーx)=ーdf(ーx)/d(-x)=ーdf(ーx)/d(-x)*d(ーx)/dx
=ーf’(ーx)*-1=f’(ーx)
となって、結論と矛盾する。よって、命題は正しい。
(3)(2)と同じです。
No.1
- 回答日時:
こういうのは、右から左を示すのが楽。
合成関数の微分を使う。(2)
f(-x)=f(x)の両辺をxで微分すると、合成関数の微分法により左辺の微分はf'(-x)・(-x)'=-f'(-x)となり、右辺の微分はf'(x)。
以上により、示された。
(3)
-f(-x)=f(x)の両辺をxで微分すると、合成関数の微分法により左辺の微分は-f'(-x)・(-x)'=f'(-x)となり、右辺の微分はf'(x)。
以上により、示された。
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いったん右辺の変数名を変えて
lim[h→0]{ [f(y) - f(y - h)/h } (1)
とし、さらに
y - h = x
とおけば、y = x + h なので
f'(-x) = lim[h→0]{ [f(x + h) - f(x)]/h } (2)
の部分で(1)ではx=yとなっているのにどうして(2)ではx=y-hにできるのですか?(1)(2)の左辺の変数は同じxなのにそのxが異なる形で表せる理由がわかりません。