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数学についてです。
微分可能なf(x)について写真の問題の証明をしてください。

「数学についてです。 微分可能なf(x)に」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • いったん右辺の変数名を変えて
      lim[h→0]{ [f(y) - f(y - h)/h } (1)
    とし、さらに
     y - h = x
    とおけば、y = x + h なので
     f'(-x) = lim[h→0]{ [f(x + h) - f(x)]/h } (2)

    の部分で(1)ではx=yとなっているのにどうして(2)ではx=y-hにできるのですか?(1)(2)の左辺の変数は同じxなのにそのxが異なる形で表せる理由がわかりません。

      補足日時:2019/05/13 07:08

A 回答 (3件)

(2) 定義に戻って


 f'(x) = lim[h→0]{ [f(x + h) - f(x)]/h }
を使って
 f'(-x) = lim[h→0]{ [f(-x + h) - f(-x)]/h }
ここで、f(x) = f(-x) なので
 f(-x + h) = f(- (-x + h) ) = f(x - h)
よって
 f'(-x) = lim[h→0]{ [f(x - h) - f(x)]/h }
ここで
 k = -h
とおけば、h→0 のとき k→0 で、f(x - h)=f(x + k) なので
 f'(-x) = lim[k→0]{ [f(x + k) - f(x)]/(-k) }
    = - lim[k→0]{ [f(x + k) - f(x)]/k }
    = - f'(x)
よって
 f(x) = - f'(-x)

(3) 同様に
 f'(x) = lim[h→0]{ [f(x + h) - f(x)]/h }
を使って
 f'(-x) = lim[h→0]{ [f(-x + h) - f(-x)]/h }
ここで、f(x) = - f(-x) なので
 f(-x + h) = - f(- (-x + h) ) = - f(x - h)
よって
 f'(-x) = lim[h→0]{ [-f(x - h) + f(x)]/h }
    = lim[h→0]{ [f(x) - f(x - h)/h }
ここで、いったん右辺の変数名を変えて
 lim[h→0]{ [f(y) - f(y - h)/h }
とし、さらに
 y - h = x
とおけば、y = x + h なので
 f'(-x) = lim[h→0]{ [f(x + h) - f(x)]/h }
    = f'(x)
よって
 f(x) = - f'(-x)
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2019/05/14 12:56

証明せよと来れば、背理法か対偶が便利です。

今回は#1さんで直接証明できますが背理法でしてみましょう。
(2)f(x)≠f(-x)と仮定した場合。
   f’(x)=df(x)/dx=df(x)/dx*dx/dx=f’(x)
   -f’(ーx)=ーdf(ーx)/d(-x)=ーdf(ーx)/d(-x)*d(ーx)/dx
   =ーf’(ーx)*-1=f’(ーx)
   となって、結論と矛盾する。よって、命題は正しい。
(3)(2)と同じです。
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こういうのは、右から左を示すのが楽。

合成関数の微分を使う。

(2)
f(-x)=f(x)の両辺をxで微分すると、合成関数の微分法により左辺の微分はf'(-x)・(-x)'=-f'(-x)となり、右辺の微分はf'(x)。
以上により、示された。

(3)
-f(-x)=f(x)の両辺をxで微分すると、合成関数の微分法により左辺の微分は-f'(-x)・(-x)'=f'(-x)となり、右辺の微分はf'(x)。
以上により、示された。
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