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ベクトル

やり方教えてください↓

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A 回答 (1件)

問題文に書かれたとおりに立式してゆきましょう。


考えなくても計算の作業で答えがでるのが、幾何を代数化することの利点です。
平行四辺形ABCDにおいて、 ... (→AB) = (→DC).
対角線BDを3等分してBに近い方から順にE,F ... (→BE) = (1/3)(→BD), (→BF) = (2/3)(→BD).
直線AEとBCの交点をP ... (→AP) = s(→AE) = t(→AB)+(1-t)(→AC) となるスカラー s,t がある。
直線AFとCDの交点をQ ... (→AQ) = u(→AF) = v(→AC)+(1-v)(→AD) となるスカラー u,v がある。

各式をAを原点として整理し、(→a) = (→AB), (→b) = (→AD) で置き換えると、
(→a) = (→AC) - (→b),         …[1]
(→AE) - (→a) = (1/3){ (→b) - (→a) },  …[2]
(→AF) - (→a) = (2/3){ (→b) - (→a) },  …[3]
(→AP) = s(→AE) = t(→a) + (1-t)(→AC),  …[4]
(→AQ) = u(→AF) = v(→AC) + (1-v)(→b).  …[5]

(1)
[4]から、[2]によって (→AE)、[1]によって (→AC) を消去すると、
s{ (1/3)(→b) + (2/3)(→a) } = t(→a) + (1-t){ (→a) + (→b) }.
これを整理して、{ (2/3)s - 1 }(→a) + { (1/3)s - 1+ t }(→b) = (→0).
(→a), (→b) が一次独立なので、 (2/3)s - 1 = (1/3)s - 1+ t = 0.
一次方程式を解いて s = 3/2, t = 1/2.
この値を[4]へ戻せば、(→AP) = (→a)+ (1/2)(→b).

(2) 同様に
[5]から、[3]によって (→AF)、[1]によって (→AC) を消去すると、
u{ (2/3)(→b) + (1/3)(→a) } = v{ (→a) + (→b) } + (1-v)(→b).
これを整理して、{ (1/3)u - v }(→a) + { (2/3)u - 1 }(→b) = (→0).
(→a), (→b) が一次独立なので、(1/3)u - v = (2/3)u - 1 = 0.
一次方程式を解いて u = 3/2, v = 1/2.
この値を[5]へ戻せば、(→AQ) = (1/2)(→a) + (→b).

(3)
これも、問題文に書かれたとおり立式します。
1 = AB = |→AB| = |→a| = √{ (→a)・(→a) },
2 = AD = |→AD| = |→b| = √{ (→b)・(→b) },
cos120° = (→AB)(→AD)/{ |→AB| |→AD| } = (→a)(→b)/{ 1・2 }.

これを使って、 (1)(2)から
(→AP)・(→AQ) = { (→a)+ (1/2)(→b) }・{ (1/2)(→a) + (→b) }
= (1/2)(→a)・(→a) + { 1 + (1/2)(1/2) }(→a)・(→b) + (1/2)(→b)・(→b)
= (1/2)1^2 + (5/4)(2 cos120°) + (1/2)2^2
= 5/4.
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