http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH

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の定理1.5.1の証明について質問です。

0→R^(m-1)∩N→N → pr_m(N)→0

について、これが短完全系列になるのはなぜですか？

また、右端が自由 R 加群なので分裂すると言えるのはなぜですか？

この2点、解説よろしくお願いします。

No.1 回答者： ringringscheme 回答日時： 2019/05/17 00:54

二つ目の疑問は自明ではありません。

河田「ホモロジー代数」第1章
定理1.3より、次は同値である。
(1) Pは射影的R加群
(2) Pを第3項とする短完全列は分裂する

定理1.5
RがPIDのとき、R加群Pが射影的であるための必要十分条件は、Pが自由R加群であることである。