何日か前にこの質問コーナーで質問したのですが、ご無体にも消されてしまったあの問題を復活させるぞ。がんばって解いてたも。

問題
同一平面上に4点A.B.C.Pがあります。
点A.B.Cから点Pにむかって線分をひくとき
AP+BP+CPを最小にするには点Pはどこにあればよいか。

響子さん、じゃなくて管理人さんへ
今度はまじめにやります。消さないでください。

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A 回答 (8件)

めげん奴っちゃな。



線分AP, BP, CPが120度で交わる様な点P。ただし、三角形ABCの内角のうちで120度以上のものがある場合には、その頂点上にPを置く。

証明は要求してないですね。ご自分でやってたも。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
証明を要求します。

お礼日時:2001/07/30 22:47

点PがAでもなくBでもなくCでもなければ


単位ベクトルで、それが3つ集まって0になるという条件(☆)を
満たしているはずですよね。しかも、その点は必ず三角形の中にある。
(そうでなければ、短い2辺を結んだほうが短くなる。)
ということは三角形のどっかの角度が120度より開いちゃうと
そもそもそういう風なベクトルをとれなくなっちゃって
(図を書けば分かります)
結局、stomachmanさんのおっしゃるような頂点が点Pになってしまう
(三角形の中にはそんな条件を満たす点がないから)。

それにしても、方針もたっていて、問題設定もできれば、
ほとんど解けたようなものだと思うのですが・・・
最近はいろいろDVD化されていて、見るのも大変でしょう。

2変数関数(どういう曲面なのかなあ)の問題というのは
陰関数として表せれればいいということですよね。
一番簡単なのは(☆)を変形すれば良いのではないでしょうか?
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この回答へのお礼

ありがとうございます。よくわかりました。あとは自分でもできるとおもいます。

予定どおり、8月2日午後11時59分にこれを閉じます。
皆さんどうもありがとうございました。

お礼日時:2001/08/01 20:52

newytypeさんが最初に書かれていたように


ベクトル解析を使えばいいんじゃないでしょうか?
p=(px,py), a=(ax,ay)でベクトルp-aの長さ|p-a|のpについての勾配は
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=111144
にあるように、(p-a)/|p-a|ですよね。
これは単位ベクトルで、それが3つ集まって0になるというと・・・
そうすると120度を越えちゃうとこのままじゃだめ
というのもわかりますよね?

距離の2乗の和であれば、重心として簡単に求まるんでしょうが、
解析的に座標を与えることってできるのでしょうか?

それにしても、響子さんとは。
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この回答へのお礼

六行目;120度です。
7、8行目; 何が駄目なんですか?
10、11行目;点A(-a,0),点B(a,0),点C(b.c),
点P(x,y)として、距離を求め、Z=f(x,y)
の2変数関数(どういう曲面なのかなあ)の問題としました。
さて、どうでしょう。
13行目;あなただけです。私のおふざけに付き合ってくれる人は。
どうもありがとう。

お礼日時:2001/08/01 18:18

消されていたのですね。


シャボン膜については、以前、「秋山仁」さんがTVで実演されていました。みどとに120度になっていました。

針金(石鹸になじむように糸を巻いてある)でつくった三角柱を石鹸液にしずめて持ち上げると、表面張力によって膜の面積が最小になろうとします。最初の瞬間には、三角柱の5面に膜ができます(実際にはできていない)が、それよりも、内側にへこんだ形のほうが面積が小さいので上下の底面、3つの側面がそれぞれへこんだ、(それぞれの辺から三角形と台形が内側にのびる)形になります。

(三角柱に高さがないと、上下の三角形がくっついちゃうから、側面からの膜どうしがくっつかない)
側面からの膜同士は120度になってました。(目測ですが)

計算は、根性出してやれば高校1年レベルでもできるんじゃないですか?(座標を作って、ピタゴラスの定理使って・・)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
自分でもやってみます。

お礼日時:2001/07/31 11:25

石鹸水が作る膜って制限の中で面積を最小限にする形になるんですよね。


円筒の骨組みだけにして石鹸水から持ち上げると懸垂線の回転体になったり。
でくっついちゃうとパーンってはじけちゃうんですけど。水の科学館でやりました。

で、言いたいのは、同じように三角柱を石鹸水から持ち上げると、三角柱に高さが十分あれば
上と下で立体角πの部分が出来てその間は台形が3枚、短辺を共有している。
それを上から見ると三角形の各点から内部の点へ直線を引いた形になっていて
その3本の直線のなす角はそれぞれ2/3π。

上から見ると言う事は3次元を2次元に落としているので面積は長さに置換えられ、
三角形の各頂点から内部の点へ3本の直線を引いた時、その長さの和が最小になるのは
その3本の直線のなす角がそれぞれ2/3πとなると言えます。

数学的証明にはなっていませんが、感覚的に捉えるには良い例だと思いますが。
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この回答へのお礼

卿の意見には聞くべき点があるやもしれん。
だが私にはいささか感覚的すぎてよくわからない。
私にもわかるように具体例をあげて説明してほしい。
とくに5行目から9行目までのところをである。
本当にそうなるのか教えてほしいッッピー。

お礼日時:2001/07/31 01:58

stomachmanさんが、回答No.2で申し上げているとおりですが、ご自分で証明できず、お調べになる時の参考に申し上げます。



条件に合う点Pを、 Fermat点 といいます。平面幾何学の最大最小の問題にあります。詳しい幾何の本を調べれば、でている筈です。

御健闘を祈ります。
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この回答へのお礼

ありがとだッピー。

お礼日時:2001/07/30 11:47

正解出ちゃいましたね。


証明のヒント→楕円の性質
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この回答へのお礼

楕円の性質
2定点F,F’に対しFP+F’P=一定となる点の軌跡を楕円といい、F,F’を焦点という。
さて、かんがえるぞー。

お礼日時:2001/07/30 11:45

おや、お久しぶり。



これ、極値問題として解こうとすると、式がとんでもなく
長くなってしまうね。なにかいいアイデアで一気に簡単に
なるのだろうか。

極値問題としては、極値が1個の素直な問題だと思ったん
だが...
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この回答へのお礼

お久しぶりです。たしか最初に解答してくれた方ですよね。あれからしこしこ計算しようと思ったのですが、できませんでした。むずかしいです。
それは置いとくとしてstomachmanさんができたみたいです。いっしょに分析しましょう。

お礼日時:2001/07/30 03:22

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P=の式にしたいのですが、、、どうなるのでしょうか?
後輩に聞かれ何も答えれず(汗)
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簡単な質問かもしれませんが教えてくださいお願いいたします。

Aベストアンサー

P=-a×ln×T+b  …(*)

ln×P=a×F+b
  ↓
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これを (*) へ代入、
P=-a×(a×F+b)/P×T+b
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…という結論?

  

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     =2a+3

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Aベストアンサー

式が(a+1)+(a+2)なら、
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=a*a+1a+2a+1*2
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三点A(-1.1) B(2.0) C(3.5)を頂点とする△ABCがあり、点Pは線分AC上でAP:PC=3:1です。
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点Pの座標は内分点なのでP(2.4)とだすことができました。
そしてAB上に点Qをとり、X座標をtと置き
Q(t.-1/3t+2/3)ができました。

このあとはどのように計算すればよいのですか?

Aベストアンサー

なるほど!
三角形の面積の公式は?
http://mathtrain.jp/sinmenseki
sinを用いた面積の公式より、
△ABCと△APQにおいて、∠CAB=∠PAQ(=θとおく) だからだよ!

三平方の定理より
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AP=3/(3+1) ・AC=(3/4)・4√2=3√2
よって、面積における条件より
AC・AB・sinθ=2AP・AQ・sinθ
∴ 4√2 ・ √10=2・3√2・AQ
∴ AQ= (2/3)√10=(2/3)AB
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後は、簡単だね!
教師でない59歳だよ!

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点A、Bの位置ベクトルをa↑、b↑とし
点Pの位置ベクトルをp↑=α(a↑)+β(b↑)とするとき
1.点Pが直線AB上にある条件をα、βで表せ
2.点Pが三角形OABの内部にある条件をα、βの不等式で表せ (Oは原点)

の問題で、、

1.の解説を見てみると

(AP)↑=t(BP)↑となるtがある。
α(a↑)+β(b↑)-a↑=t{α(a↑)+β(b↑)-b↑}
これをa↑、b↑でまとめると
(α-1-tα)a↑+(β-tβ-t)b↑=0↑となり

α-1-tα=0 (1)
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と書いてありました。

解説を見ながら、自分でやってみたらちゃんと答えどおりになったのですが

なぜ(1)(2)の連立方程式が出てくるのか分かりません


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α-1-tα=0 (1)
β-tβ-t=0 (2) (連立方程...続きを読む

Aベストアンサー

此の問題は、何を書いてもIMAGEがないと理解困難です。
α=X
β=Y と置き換えて、
α+β=1 は X+Y=1 です。
ベクトルは、矢印なしに、a,bと表記します。
ーーー

XY座標に、大きさ1の直交するa,bをとる。
即、a=(1、0)、b=(0、1)
X+Y=1 は a,b の終点を結んだ、<直線>の意。
X≦1、Y≦1 を加味すると、X+Y=1 は<線分>ABの意。
X<1、Y<1 ならば、<線分AB>から点A・点Bを除く、の意。

X>0、Y>0 は(X、Y)が第一象限の意。
X+Y<1、は X+Y=1 より下の領域の意。
両者を合わせると、△AOBの内部の意。

      
      ↑\B(0、1)
      |  \
      |    \
      |      \
      |        \
      |          \
       ━━━━━━━→
     O(0、0)         A(1、0)
    
ベクトルの大きさが変化し、a,bが直交せずとも、
    
    ━●
    /|
  /
/          \
━━━━━━━━━●
           /

同様に解釈できれば、良いのですが。
ーーー

若干の誤植は訂正して解釈します。
β-tβ+t=0 ですね。

>>なぜ(1)(2)の連立方程式・・・。

Ka+Lb=O 
(K、Lは実数)
(a,bはベクトル)(Oは零ベクトル)
a,bは同じ向きではなく、(一次独立)
K=0、L=0 以外では等式が成立せず、
K=0、L=0 としかなりません。

>>あと2.の解きかたが・・・
>>α>0、β>0

此の考え方で(は/も)、
t>のとき、点PはABの外分点。
t<0のとき、点PはABの内分点。
(α-1)/α=t
(α-1)/α<0
両辺にα^2を掛けて
α(α-1)<0
0<α<1・・・・(1)

β/(βー1)=t
β/(βー1)<0
両辺に(βー1)^2を掛けて
β(βー1)<0・・・・・・・(#)
0<β<1・・・・(2)

本題
α+β=1  
βー1=ーα
     β(βー1)<0・・・(#)より、
β(ーα)<0
αβ>0
α、βは同符号、
α+β=1 より、α<0、かつβ<0では矛盾。
α>0、かつ β>0・・・(3) 

尚、(1)(2)(3)は同値です。
ーーー
>>あと2.の解きかたが・・・
>>α+β<0
良く見たら、
α+β<1 の誤植ですね。

α+β<1 は、
α+β=(1/2) とすれば
(2α)+(2β)=1
もとの式は、
(α*a)+(β*b)=1
2α((1/2)a)+2β((1/2)b)=1
(2α)+(2β)=1

(1/2)a と (1/2)b の終点を結ぶ線分となり、
(○と○を結ぶ線分)
     ●
    /
  ○
 /      
━━━━ ○━━━●

(Mα)+(Mβ)=1      
Mα((1/M)a)+Mβ((1/M)b)=1
(Mα)+(Mβ)=1
(1/M)a と (1/M)b の終点を結ぶ線分。[M>1]
結局は△AOBの内部を表す。
ーーー
と書いたけれども、
冒頭のIMAGEがないと、理解困難とは思います。

此の問題は、何を書いてもIMAGEがないと理解困難です。
α=X
β=Y と置き換えて、
α+β=1 は X+Y=1 です。
ベクトルは、矢印なしに、a,bと表記します。
ーーー

XY座標に、大きさ1の直交するa,bをとる。
即、a=(1、0)、b=(0、1)
X+Y=1 は a,b の終点を結んだ、<直線>の意。
X≦1、Y≦1 を加味すると、X+Y=1 は<線分>ABの意。
X<1、Y<1 ならば、<線分AB>から点A・点Bを除く、の意。

X>0、Y>0 は(X、Y)が第...続きを読む


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