数学についてです。 写真の問題の解説をしてください。 よろしくお願いします。

数学についてです。
写真の問題の解説をしてください。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2019/05/13 14:03

f(x) を (x-a)² で割ったときの 商 を g(x) とすると、

f(x)=(x-a)²g(x) となります。
ココで x=a とすれば、f(a)=(a-a)²g(x)=0 ですね。

h(x)=(x-a)² とすると、f'(x)=h'(x)*g(x)+h(x)*g'(x) ですね。
h'(x)=2(x-a) ですから、h'(a)=0 、当然 h(a)=0 なので、
f'(a)=0*g(x)+0*g'(x)=0 となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/05/15 07:21

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/05/13 12:14

f(x)が(x-α)²で割り切れるなら

f(x)は(x-a)²の倍数だから,ｘの整式Q(x)を用いて
f(x)=(x-α)²Q(x)と置ける。

f(x)=(x-α)²Q(x)ならば
明らかにf(α)=0
f'(x)={(x-α)²}'Q(x)+(x-α)²Q'(x)=2(x-α)Q(x)+(x-α)²Q'(x)より
f'(α)=0
よって、「f(x)が(x-α)²で割り切れるならば、f(α)=０、f'(α)=0　」は成りたつ

次に因数定理によりf(α)=0ならばf(x)＝(x-α)R(x) (ただしR(x)はｘの整式)と表される。
このときf'(x)=(x-α)'R(x)+(x-α)R'(x)=R(x)+(x-α)R'(x)だから
f'(α)=0なら
ｆ’（α）=R(α)=0
よって因数定理によりR(x)=(x-α)P(x)(ただしP(x)はｘの整式)と表される。
従ってf(x)＝(x-α)R(x)=(x-α)(x-α)P(x)=(x-α)²P(x)
ゆえに、f(x)は(x-a)²の倍数だから(x-α)²で割り切れる
このことから、「f(α)=０、f'(α)=0ならば、f(x)が(x-α)²で割り切れる　」は成りたつ

以上から、f(x)が(x-α)²で割り切れるための必要十分は、f(α)=０、f'(α)=0

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/05/15 07:21