痔になりやすい生活習慣とは?

次の問題のやり方を教えてください。


x=√2-1 のとき、次の値を求めよ

① x^4 + 1/x^4(x^4分の1)

② x^5 + 1/x^5(x^5分の1)


①だと、
(√2-1)^4 + 1/(√2-1)^4
になりますが、4乗をするのはどうやってするのですか?

②の5乗のやり方も教えてください。

A 回答 (4件)

以下のように考えてみて下さい。



1/x
=1/(√2-1)
=(√2+1)/((√2-1)(√2+1))
=√2+1

4乗の場合:
x^4 + (1/x^4)
=(x^2 - (1/x^2))^2 + 2
=((x+(1/x))(x-(1/x)))^2 + 2

5乗の場合:
x^5 + (1/x^5)
=(x+(1/x))(x^4 + (1/x^4)) - (x^3 + (1/x^3))
=(x+(1/x))(x^4 + (1/x^4)) - ((x+(1/x))(x^2 + (1/x^2)) - (x+(1/x)))
=(x+(1/x))(x^4 + (1/x^4)) - (x+(1/x))(x^2 + (1/x^2) - 1)
=(x+(1/x))(x^4 + (1/x^4)) - (x+(1/x))((x-(1/x))^2 + 1)

あとはx, 1/xの値を代入すれば答えが出ます。
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この回答へのお礼

助かりました

有難うございます!!
おかげで解けました!

お礼日時:2019/05/15 20:45

x=√2-1より


1/x=1/( √2-1)= (√2+1)/ {(√2-1 )(√2+1)}=(√2+1)
よって
x+(1/x)=2√2が使えます。
両辺2乗 すると、
x²+2+(1/x)²=8
⇔x²+(1/x)²=6
更に両辺2乗すると
x⁴+2+(1/x⁴)=36
⇔x⁴+(1/x⁴)=34
というように、x+(1/x)の2乗の2乗はきれいにx⁴+(1/x⁴)になってくれるので、
(√2-1)^4 + 1/(√2-1)^4として大変な計算をせずに、これを利用です!
ちなみに「2項定理」などにより
(a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
これにa=³√2,b=-1を代入して(√2-1)^4 + 1/(√2-1)^4が求まります(・・・計算は大変!)

5乗について「2項定理」などにより
(a+b)⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵ だからこれを利用です。けれど計算が大変!

そこで、3乗公式を利用
a³+b³=(a+b)(a²ーab+b²)に
a=x,b=1/xを代入すると
x³+(1/x³)={x+(1/x)}{x²ー1+(1/x²)}=2√2・(6-1)=10√2
この両辺にx²+(1/x²)=6を掛け算
→{x³+(1/x³)}{x²+(1/x²)}=x⁵+x+(1/x)+(1/x⁵) ←←←分配法則で展開
{x³+(1/x³)}{x²+(1/x²)}=10√2・6=60√2
x⁵+x+(1/x)+(1/x⁵)=x⁵+2√2+(1/x⁵)=x⁵+(1/x⁵)+2√2
だから、まとめると
{x³+(1/x³)}{x²+(1/x²)}=x⁵+(1/x⁵)+2√2=60√2
⇔x⁵+(1/x⁵)=60√2-2√2=58√2
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この回答へのお礼

有難うございます!

お礼日時:2019/05/15 20:45

此で 合ってますかね?



先ず、
n⁴=(n²)²
なので、

難しい 方向に、
クピを 突っ込もうと、
せず、
χ²を 考えます、

(√2-1)²
   √2  -1
√2  2  -√2
-1  -√2  1

=-2√2+3

(-2√2+3)²
   -2√2  +3
-2√2  8  -6√2
+3 -6√2  +9
=-12√2+17

此で 4乗、

ついでに 5乗は、
(-12√2+17)(√2+1)
   -12√2  +17
√2   -24  +17√2
-1  +12√2  -17

=+12√2+17√2-24-17
=29√2-41

じゃ ないですかね?


さて、
χ⁴を n、
χ5を m、
と、
仮に おきます。


すると、
n+1/n
=n²/n+1/n
=(n²+1)/n

同様に、
m+1/m
=(m²-1)/m

ですよね?


後は 代入して、
n乗は 上記同様、
乗数を、
分割して 考えて、

都度、
総掛けに して、
計算すれば 良いだけですから、
判りますよね?
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この回答へのお礼

有難うございます

お礼日時:2019/05/15 20:45

4乗をするには、(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 を使えばよいのですが、


この問題では、(√2-1)^4 を直に展開するのは得策ではないように思います。
x^4 + 1/x^4 = (x^2 + 1/x^2)^2 - 2,
x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2,
x + 1/x = (x^2 + 1)/x ですが、
x = -1 + √2 から (x + 1)^2 = √2^2. すなわち x^2 + 2x + 1 = 2 なので、
x^2 + 1 = (-2x + 1) + 1 = -2x + 2.
x + 1/x = (x^2 + 1)/x = -2(x - 1)/x = -2(√2 - 2)/(√2 - 1) = 2√2,
x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2 = (2√2)^2 - 2 = 6,
x^4 + 1/x^4 = (x^2 + 1/x^2)^2 - 2 = 6^2 - 2 = 34.
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この回答へのお礼

有難うございます!!

お礼日時:2019/05/15 20:45

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