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R ^2 から1点を除いた集合は連結であることの証明がよくわかりません。連結でないと仮定して背理法から導くのか、あるいは先に弧状連結であることを示してから定理 "弧状連結ならば連結" をつかって証明するのか、はたまたより便利な方法があるのか。詳しく教えていただけるとありがたいです。

gooドクター

A 回答 (2件)

除く1点をXとする。


平面から、x以外の点を2つ選び、P,Qとする
xを中心とする同心円で、Pを通るものと、Qを通るものをつくる
xとPを結ぶ線分とXとQを結ぶ線分を考える
同心円の一部と、直線状の線分をとって、P,Qを結ぶ道をつくる
これらのことを、(x、y)座標とxを中心とする極座標で書いて見る
変数t(0<=t<=1として)で道 F(t)を表現する
これで、弧状連結の状態となる。

あとは、省略

孤をきちんと表現することが、唯一の問題だと思う。
直接P、Qを結ぶ線分を作ると、除外する点xを通ってしまう可能性があるので
安全な道を作ること。
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どちらでも、好きなほうのやり方で!

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