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xが何乗のとき係数が最大になりますか?

「xが何乗のとき係数が最大になりますか?」の質問画像

A 回答 (5件)

#3追記



ちなみに、模範解答では
(6k-399)などの正負を判定して
0≦k≦66のとき(6k-399)<0
⇔(5^k)80Ck<(5^k+1)(80Ck+1)
よって、x¹³の係数<x¹⁴の係数<・・・<x⁷⁹の係数<x⁸⁰の係数…①
67≦k≦79のとき(6k-399)>0
⇔(5^k)80Ck>(5^k+1)(80Ck+1)
よってx⁰の係数<x¹の係数<・・・<x¹²の係数<x¹³の係数…②
よってx¹³の係数が最大 と言うような類の事が書いてありました。

このようにx0乗の係数と、x80乗の係数の両側から検討して①②だから、
x¹³の係数が最大になるというような記述をしないと、話が飛躍しているので減点されてしまうかも。
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No.2は計算に間違いあり。

あほじゃん。
((80-k)/(k+1))5 > 1 は
k < (160-1)/(5+1) じゃなくて
k < (400-1)/(5+1) = 66 + 3/6 でないと。

80-k = 80-67 = 13 だね。 No.1のいうとおり。

ちなみに、
(80C(k+1))5^(k+1) / (80Ck)5^k > 1 ⇔ k < 66 + 1/2
だから
(80C(k+1))5^(k+1) / (80Ck)5^k < 1 の計算は要らない。
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#1訂正


夕食食べて復活したので 訂正と追加です。
手持ちの問題数で調べたら、この問題は傍国立大の入試問題で、答えはxの13乗の項が最大とのこと
(カッコなどのつけ方を、標準の物とは多少変えて見やすくしたつもりですが、かえって分かりづらくなってしまったかも
私の意図をくんで、式を見て頂ければありがたいです)

(5^k-1)(80Ck-1)=(5^k-1)・80!/{(80-k+1)!(k-1)!}=(5^k-1)・80!/{(81-k)!(k-1)!}
(5^k)80Ck=(5^k)・80!/{(80-k)!k!}
(5^k+1)(80Ck+1)=(5^k+1)・80!/{(80-k-1)!(k+1)!}=(5^k+1)・80!/{(79-k)!(k+1)!}
より
(5^k-1)(80Ck-1)≦(5^k)80Ck≧(5^k+1)(80Ck+1) となるkを調べれば良い
まず「(5^k-1)(80Ck-1)≦(5^k)80Ck」から
右辺ー左辺≧0となるkを調べる
{(5^k)80Ck}-{(5^k-1)(80Ck-1)}=(5^k)・80!/{(80-k)!k!}-[(5^k-1)・80!/{(81-k)!(k-1)!}]
={(5^k-1)・80!}[5/{(80-k)!k!-1/{(81-k)!(k-1)!}]
={(5^k-1)・80!}[5・(81-k)/{(81-k)(80-k)!k!-k/{(81-k)!k(k-1)!}]
={(5^k-1)・80!}[5・(81-k)/{(81-k)!k!-k/{(81-k)!k!}]
={(5^k-1)・80!}[(405-6k)/{(81-k)!k!]≧0でなければならない。 ←←←※ここをミスしました
この式で、{(5^k-1)・80!}>0、(81-k)!k!>0 だから
(405-6k)≧0でなければならない   ←←← ここも訂正
⇔k≦67.5・・・①
(従って、kは67以下 と言うのが必要条件)

同じ要領で
(5^k)80Ck≧(5^k+1)(80Ck+1) となるkを調べると
(5^k)80Ck-(5^k+1)(80Ck+1)=(5^k)・80!/{(80-k)!k!}-[(5^k+1)・80!/{(79-k)!(k+1)!}]
={(5^k)・80!}[1/{(80-k)!k!}-5/{(79-k)!(k+1)!}]
={(5^k)・80!}[(K+1)/{(80-k)!(k+1)k!}-5(80-k)/{(80-k)(79-k)!(k+1)!}]
={(5^k)・80!}[{(K+1)-5(80-k)}/{(80-k)!(k+1)!}
={(5^k)・80!}[(6k-399)/{(80-k)!(k+1)!}≧0
⇔(6k-399)≧0
⇔k≧66.5…②
(従ってkは67以上)
①②からkの共通範囲は66.5≦k≦67.5
kは整数だからこれを満たすのはk=67のみ
このときxの乗数は80-k=80-67=13
ゆえに、求める答えは13乗 となります。
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問題の一部分が切り出されているようだけど、


(80Ck)5^k が最大になる 80-k を求めたいのかな?

(80C(k+1))5^(k+1) / (80Ck)5^k = ((80-k)/(k+1))5
(80C(k+1))5^(k+1) > (80Ck)5^k となる条件は
((80-k)/(k+1))5 > 1 を解いて k < 159/6 = 26 + 3/6.
k = 27 のときが最大と判る。それは、x^(80-27) = x^53 の係数。
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(5^k-1)(80Ck-1)=(5^k-1)・80!/{(80-k+1)!(k-1)!}=(5^k-1)・80!/{(81-k)!(k-1)!}


(5^k)80Ck=(5^k)・80!/{(80-k)!k!}
(5^k+1)(80Ck+1)=(5^k+1)・80!/{(80-k-1)!(k+1)!}=(5^k+1)・80!/{(79-k)!(k+1)!}
より
(5^k-1)(80Ck-1)≦(5^k)80Ck≧(5^k+1)(80Ck+1) となるkを調べれば良い
まず「(5^k-1)(80Ck-1)≦(5^k)80Ck」から
右辺ー左辺≧0となるkを調べる
{(5^k)80Ck}-{(5^k-1)(80Ck-1)}=(5^k)・80!/{(80-k)!k!}-[(5^k-1)・80!/{(81-k)!(k-1)!}]
={(5^k-1)・80!}[5/{(80-k)!k!-1/{(81-k)!(k-1)!}]
={(5^k-1)・80!}[5・(81-k)/{(81-k)(80-k)!k!-k/{(81-k)!k(k-1)!}]
={(5^k-1)・80!}[5・(81-k)/{(81-k)!k!-k/{(81-k)!k!}]
={(5^k-1)・80!}[(401-6k)/{(81-k)!k!]≧0でなければならない。
この式で、{(5^k-1)・80!}>0、(81-k)!k!>0 だから
(401-6k)≧0でなければならない
⇔k≦401/6≒66.8
従って、kは66以下 と言うのが必要条件

あとは、同じ要領で
(5^k)80Ck≧(5^k+1)(80Ck+1) となるkを調べ、
2つのkの範囲の条件から答えを見つけてください。(私は力つきたので、後の計算はお任せします)
(K=66が答えのような気はします・・・あくまでも勘です)
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