ε-δ論法についてです。 「任意のεに対して0<|x-1|<δ⇒|x^2-1|<εを満たすδが存在す

ε-δ論法についてです。

「任意のεに対して0<|x-1|<δ⇒|x^2-1|<εを満たすδが存在する」

を証明する際に、僕は

δ= ε/|x+1|とすると
|x^2-1|=|x-1| |x+1| <δ|x+1|=ε

のように書いたのですが、これは間違っていますよね？
「δ= ε/|x+1|とすると」の部分がとても気持ち悪いのですが、何が間違っているか説明できません。

どなたか教えていただけるとありがたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/05/16 16:39

順序が間違いです

εに対して
δが決まり
δに対して
xが決まるのですから
ε→δ→x
の順序で決まるのですから
x→δ
のようにxに対して
δを決めてはいけません

任意のε>0に対して
δ=min{(ε/3),1}
とすると
|x-1|<δ
0=1-1≦1-δ<x<1+δ≦1+1=2
0<x<2
1<x+1<3
|x+1|<3

|x^2-1|=|x+1||x-1|<3δ≦ε

この回答へのお礼

昨日に引き続きありがとうございます！
理解できました！

お礼日時：2019/05/16 17:08