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(4)は、なぜ、不等式になるのでしょうか?教えていただけると幸いです。

「領域について。」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 次の問題の解答が、不等式が使われているのです。教えていただけると幸いです。

    「領域について。」の補足画像1
    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2019/05/16 21:12

A 回答 (8件)

>他の問題とは、何が違うのでしょうか?特に、(3)とは



(1)(2)(3)とも、求めるものは最大値でした。
(4)は、「最大の整数」を要求されている点が違います。

最大値を求めるだけなら、
それが最大値になる条件を幾何的に特定して
直に方程式を立ててしまうことができるでしょう。
(4)の場合は、n が最大の整数値になる状況を
作図することはまず困難だろうと思われます。
その状況を方程式に立式することも無理でしょう。

すると、n が実数の最大値をとる条件を方程式で立式して
n = 50+10√2 を求めたとしても、
n の最小値 n = 50-10√2 と併せて
「50-10√2 ≦ n ≦ 50+10√2 だから最大の整数は n = 64」←[**]
という結論へ持っていかざるを得ません。

もともと「(x-3)^2+(y-2)^2≦1 と 10x+10y=n が交点を持つ」
という条件が n の不等式を与えるものであるのに、
わざわざ最大値と最小値の条件だけを方程式で取り出して
値を求めた後、[**]のように n の範囲の話に戻すというのは、
随分と偏屈な話だと思うのです。
素直に処理すれば、No.2のような論述になると思います。
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この回答へのお礼

なぜ、作図することが、困難なのでしょうか?その状況を方程式に立式することもなぜ、無理なのでしょうか?教えていただけると幸いです。

お礼日時:2019/05/17 19:20

>なぜ、出来ないのでしょうか?



いや、だから、できると思うのなら
あなたがやって見せてください。
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>なぜ、作図することが、困難なのでしょうか?


>その状況を方程式に立式することもなぜ、無理なのでしょうか?

できるというのなら、
(x-3)^2+(y-2)^2≦1 の条件下で 10x+10y が最大の整数値をとる
際の幾何的条件または方程式を書いてみてください。

もちろん、| 10・3 + 10・2 - n |/√(10^2+10^2) = 1 ではありませんよ。
| 10・3 + 10・2 - n |/√(10^2+10^2) = 1 は n = 50±10√2 であり、
n = 64 ではないのですから。
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この回答へのお礼

なぜ、出来ないのでしょうか?教えていただけると幸いです。

お礼日時:2019/05/17 21:01

「記述のしやすさ」、あるいは「論理的飛躍が無いような答案をつくる」ということが背後にあるようです。


図で④が円と上側で接するとき、nが最大となることは直感的に分かります。
n(max)=50+10√2≒64.1
これに近い整数nは(整数nの最大値は64)ということは図を見ながら考えれば、(直感的には)一目瞭然だと思います。
でも、それでは答案としては不十分なのです。

例えば、仮に三平方の定理がまだ見つかっていないとして
直角三角形の底辺と高さが分かっている時、斜辺を求めろと言う問題で
斜辺=√(底辺)²+(高さ)²と言う式をいきなり使っては、飛躍しすぎ(説明不足)で答案としては減点なのです。
(この場合、斜辺=√(底辺)²+(高さ)²が成り立つ理由を示さなければいけません)
しかし、実際は三平方の定理なんて言うのは誰でもが知っている定理ですから、
答案には、三平方の定理より、斜辺=√(底辺)²+(高さ)² と書くだけで正解となるのです。

本問も同じこと、飛躍が無い正確な説明が出来れば あなたの考えている通り 不等式を使わなくても良いです。
言い換えれば、nの範囲を求めずとも良いです。
けれど、(私はまだ、じっくり考えたわけではありませんが)、そのような解法を正確に記述するのは大変かも。
模範解答のようにnの範囲に触れて、説明していく方が(飛躍のない)正確な説明がしやすそうです。
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>なぜ、実数nのとり得る値の範囲を求めるのでしょうか?



1)簡単に求めることができ、
2)それが判れば最大の整数も判る
からです。

実数 n の範囲を経由せずに
最初から整数 n の最大値が求まる解法があるのなら、
後学のため教えてほしいと思います。
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この回答へのお礼

他の問題とは、何が違うのでしょうか?特に、(3)とは、何が違うのでしょうか?教えていただけると幸いです。

お礼日時:2019/05/17 16:01

>では、=でも良いと思うのですが。

なぜでしょうか?

10x + 10y = n の n が最大になるような条件を考えたのでは、
n = 50+10√2 が求まるだけです。
そうではなくて、実数 n がとり得る値の範囲を求めるから、
その中で最大の整数 n = 64 という答えが得られるのです。

(n の最大値) = 50+10√2 を方程式で求めて、
だから n ≦ (nの最大値) = 50+10√2 から
(最大の整数n) = 64 とすることもできなくはありませんが、
話がゴタゴタしており、最初から不等式で扱うほうが簡明だと思います。
そもそも図形的条件「(3,2)と直線④の距離は円Cの半径1以下であるから」
が、自然に不等式で書ける条件なのですから。
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この回答へのお礼

なぜ、実数nのとり得る値の範囲を求めるのでしょうか?教えていただけると幸いです。すみません。

お礼日時:2019/05/17 06:30

←補足


No.1 のひとつめに書いた
(x-3)^2 + (y-2)^2 ≦ 1 と 10x + 10y = n が交点を持つような
n の範囲をグラフから考える方法をとっていますね。

その補足写真に書かれた模範答案に「(3,2)と直線④の距離は
円Cの半径1以下であるから」と説明して不等式が立ててあります。
それが、グラフから考えた交点を持つ条件です。←[*]
| 10・3 + 10・2 - n |/√(10^2+10^2) ≦ 1 の
左辺が「(3,2)と直線④の距離」(これは必修の公式から求まります)、
右辺の 1 が「円Cの半径」で、以下だから ≦ と式になっています。

なぜ[*]という条件になるかと言えば、図から考えてそうなった
としか言いようがないように思います。

この不等式を解いて得られる n の範囲が 50-10√2 ≦ n ≦ 50+10√2、
それを満たす最大の整数が n = 64 だというわけです。
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この回答へのお礼

では、=でも良いと思うのですが。なぜでしょうか?教えていただけると幸いです。

お礼日時:2019/05/16 21:51

(4)の答えは、最大値の値であって、不等式ではありませんよ?



点(x,y) が曲線 (x-3)^2+(y-2)^2≦1 を満たすとき
10x+10y の値がとり得る範囲をまず求めましょう。
その範囲に含まれる最大の整数を答えればよいからです。

(x-3)^2+(y-2)^2≦1 の条件下に 10x+10y がとり得る値
の範囲を求めるには、やり方が複数あります。

(x-3)^2+(y-2)^2≦1 と 10x+10y=p が交点を持つような
p の範囲をグラフから考えるのが一法。
これは、写真の(1)解答と同様の方法です。

(x-3)^2+(y-2)^2≦1 から x = 3 + cosθ, y = 2 + sinθ と
媒介変数表示して、それを 10x+10y へ代入した θ の関数
50 + 10cosθ + 10sinθ の値域を求めるもの一法です。

他にもいろいろ方法はありますが、そのふたつくらいが標準的かな。
この回答への補足あり
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