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(1)の回答への導き方が解説を見てもよく分かりません。
難しい問題ですが誰か分かりやすく解説してくださいお願いします(><)

「(1)の回答への導き方が解説を見てもよく」の質問画像

A 回答 (2件)

図が分かりやすいのでこれを見てくfださい。


図の上段がサイコロを振る前の状態(題意より)

問題文は、この上段の状態からサイコロを何回か振り、(Bは未到達で)Aが原点に初めて到達する確率をPnと決めています。つまり、Aの座標が-nである時にサイコロを何回か振って(B未到達で)Aが原点に初めて到達する確率をPnとしているのです。
だから、「Aの座標が-mである時にサイコロを何回か振ってAだけが原点に初めて到達する確率はPm」 ということになります

模範解答ではnしか使っていないため混乱するかもしれません。そこで一旦、mで考えることにします
・Aの座標が-mにあるとき(n=mの状態),この位置からAだけが原点に初めて到達してゲームが終了する確率は前に述べた通りで
nにmを代入して Pm
・Aの座標が-(m+1)にあるとき(n=m+1の状態)、この位置からAだけが原点に初めて到達してゲームが終了する確率は、
nにm+1を代入して P(m+1) 
・Aの座標が-(m-1)にあるとき(n=m-1)、この位置からAが原点に初めて到達してゲームが終了する確率は、
nにm-1を代入して P(m-1)

ここで本問との整合性を取る。
実際に考えるべきAの座標は
-mではなくて-n
-(m+1)の代わりに-(n+1)
-(m-1)の代わりに-(n-1)であるから
Aがそれぞれの座標にある時、Aだけが初めて原点に到達する確率はmをnに置き換えて、順番に
pn,
p(n+1)
p(n-1)

これを踏まえて、画像左の経路のように1回目のさいころで線分が左に移動して、その後Aだけが(初めて)原点に到達するケースでは
その確率は、
(1回目に左に移動する確率)x(1回移動後の位置:-(n+1)からAが原点に初めて到達する確率)=(2/3)・p(n+1)
同様に、(画像右の経路では)
1回目のさいころで線分が右に移動してその後Aだけが(初めて)原点に到達するケースでは
その確率は、
(1回目に右に移動する確率)x(1回移動後の位置-(n-1)からAが原点に初めて到達する確率)=(1/3)・p(n-1)
よって 
初めにAが-nの位置にある場合、Aだけが初めて原点に到達する確率pnは、(画像2つの経路の和で)
Pn=(1回目に左に移動して、やがてAが原点に到達する確率)+(1回目に右に移動して、やがてAが原点に到達する確率)
=(2/3)・p(n+1)+(1/3)・p(n-1)

このようになっています。
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まちがってたらごめん。


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まず、「P(n)とはどのようなものか」をとらえるのが、
わりと考えにくい。

ゲームが終了するという事象は2つにわけられる。
(a)最終的にAが原点に到達して終了
(b)最終的にBが原点に到達して終了
[※サイコロを投げるという試行回数は
全く眼中にないことに注意。
またnは、
このサイコロ投下回数と全く無縁であることにも注意。
nは単に「初期位置」です。]

このうち
(a)の発生確率をP(n)としている…(ア)
わけです。

ここまでいいですか?
---

で、設問1は、「(a)の確率を漸化式でとらえよう」、
というわけですが、

ここで、「解説にあるような図」をかきます。
図の上段は「はじめの状態」
中段は「サイコロ1回投下後」…(c)
下段は「cから(何回かのサイコロ投下を経て最終的に)Aが原点に達した状態」

この3者の関係を、
すなおにPの漸化式で表現するだけです。

まず、
「上段から下段へ(中段をすっとばして)"直接的に"行く確率がP(n)」
です。
(これがわかるかな? 理由は(ア)そのもの)

また、
この「上段->下段」をという"直接的な"過程を
言い換え、
「上段->中段->下段というふうに細分化して」
これを数式化したものが、
(2/3)P(n+1)+(1/3)P(n-1)
です。

当然、この2式は等しいので、
P(n)=(2/3)P(n+1)+(1/3)P(n-1)
---

まあ「上記の図を書こう」
と思いつくかどうかが焦点だと思いますが。
わりと難しい気がする。
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上記の説明でわからなければ、
学校の先生に聞くしかないでしょう。
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