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初学者なので、誤りがあればごめんなさい

代数幾何学では多項式の根を
QからQ[X]/(多項式のイデアル)への写像
QからRへの写像に対して
Q[X]/(多項式のイデアル)からRへの準同型が存在して可換図式を描く
ようなものと考えると思いますが、
実際にこれで、例えばX+1の実数根を求めることはできるのでしょうか?

A 回答 (1件)


X+1の実数根

等という言い方はしません
「?」の実数根といった場合は
「?」は等式でなければなりません
「?」の中に「=」が入っていなければなりません

X+1=0の根は
X=-1∈Q
なので
任意の
f(X)∈Q[X]
に対して
f(-1)∈Q

[f(X)]∈Q[X]/(X+1)
[g(X)]∈Q[X]/(X+1)
に対して
f(X)-g(X)=h(X)(X+1)
となる
h(X)∈Q[X]
があるとき
[f(X)]=[g(X)]
というのだから

f(-1)=g(-1)
のとき
f(-1)-g(-1)=0
だから因数定理から
f(X)-g(X)=h(X)(X+1)
となる
h(X)∈Q[X]
があるのだから

f(-1)=g(-1)
ならば
[f(X)]=[g(X)]
となるから

Q[X]/(X+1)~{f(-1)∈Q}~Q
Q[X]/(X+1)はQと同型
になります

Q[X]/(X^2-2)~Q[√2]={a+b√2|a,b∈Q}

Q[X]/(X^2+1)~Q[i]={a+bi|a,b∈Q}
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