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数学の問題です、急ぎで教えてください!
1.dy/dx=(x-y)/(x+y)

2.dy/dx=(y-x)/(y+x)

3.y'+y=3e^x y^3

4.y'+y/2=x^2 y^3

よろしくお願いします!

質問者からの補足コメント

  • 微分方程式を解いてくださいお願いします

      補足日時:2019/05/19 00:42

A 回答 (5件)

2、の回答で、⑥の次の行は


正 左辺は
誤 右辺は
4、の回答で、⑩の次に、次式を追加する。
⑩を②に入れると
y= z^(-1/2)=1/√(2 x²+4x+4+C e^x)_⑪
となる。
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1、の最後の式によけいな2乗が入ってしまった。


正 y=xz=x{√(2-1/c²x²)-1}=√(2 x²-1/c²)-x_⑬
誤 y=xz=x{√(2-1/c²x²)-1}=√(2 x²-1/c²)-x²_⑬
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3、y'+y=3e^x y^3_①


y'+P(x)y=Q(x) y^nの形のときは、y=z^(-1/(n-1))と置く。
n=3だからy=z^(-1/2)_② と置く。②を微分すると
y’=(-1/2) z^(-3/2) z’ _③となる。
②③を①に入れると
(-1/2) z^(-3/2) z’+ z^(-1/2) =3e^x (z^(-1/2))^3
両辺に-2 z^(3/2)をかけると
z’-2 z=-6 e^x_④
z=ae^x_⑤とすると解となるので、⑤を④に入れると
ae^x-2ae^x=-6 e^x
からa=6となり、z=6 e^x_⑥は一つの特解である。
④の斉次方程式z’-2 z=0_⑦の解は
z= e^2x_⑧である。⑥⑧から、zの一般解は⑨となる。
z=6 e^x+C e^2x_⑨ Cは任意定数。
⑨を②に入れると
y= z^(-1/2)=1/√(6 e^x+C e^2x)_⑩
となる。
4、y'+y/2=x^2 y^3
やはりy=z^(-1/2)_② と置く。②を微分すると
y’=(-1/2) z^(-3/2) z’ _③となる。
②③を①に入れると
(-1/2) z^(-3/2) z’+ (1/2)z^(-1/2) = x²(z^(-1/2))^3
両辺に-2 z^(3/2)をかけると
z’-z=-2x²_④
z=a x²+bx+c_⑤とすると解となるので、⑤を④に入れると
2ax+b-(a x²+bx+c)=-2x²_⑥
これからa=2、b=4,c=4とすると⑥を満足するので
z= a x²+bx+c= 2 x²+4x+4_⑦は一つの特解である。
④の斉次方程式z’-z=0_⑧の解は
z= e^x_⑨である。⑦⑨から、zの一般解は⑩となる。
z= 2 x²+4x+4+C e^x_⑩ Cは任意定数。
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1、1.dy/dx=(x-y)/(x+y)_①


y=xz_②と置くとdy/dx=z+x(dz/dx)となる。これと②を①に入れると、
z+x(dz/dx) =(x-y)/(x+y) =(x-xz)(x+ xz)=(1-z)(1+ z)_③
左辺のzを右辺に移項すると
x(dz/dx)=(1-z)(1+ z) -z={1-z-z(1+ z)}/( 1+ z)=(1-2z-z²)/(1+ z)_④
左辺にzを含む因子を集め、右辺にxを集めると
(1+ z) dz/(1-2z-z²)=dx/x_⑤
両辺を積分すると
∫(1+ z) dz/(1-2z-z²)=∫dx/x_⑥
1+ z=t_⑦ と置いて置換積分する。dz=dt、1-2z-z²=2-t²
∫tdt/(2-t²)=∫dx/x_⑧
(-1/2)log(2-t²)=log x+C_⑨ Cは積分定数
log{1/√(2-t²)}=log(cx)  log c=C
1/√(2-t²)=cx_⑩
2-t²=1/c²x² t²=2-1/c²x²,t=√(2-1/c²x²) _⑪
⑦に入れてzを求めると
z=t-1=√(2-1/c²x²)-1_⑫
②に入れると
y=xz=x{√(2-1/c²x²)-1}=√(2 x²-1/c²)-x²_⑬

2. dy/dx=(y-x)/(y+x) _①
1,と同じようにy=xz_②と置くとdy/dx=z+x(dz/dx)となる。これと②を①に入れると、
z+x(dz/dx) =(y-x)/(y+x) =(xz -x)/(xz+x)=(z-1)(z+1)_③
左辺のzを右辺に移項すると
x(dz/dx)= (z-1)(z+1)-z={ z-1-z(z+1)}/( z+1)=-(1+z²)/(z+1)_④
左辺にzを含む因子を集め、右辺にxを集めると
(1+ z) dz/(1+z²)=dx/x_⑤
両辺を積分すると
∫(1+ z) dz/(1+z²)=∫dx/x_⑥
右辺は∫(1+ z) dz/(1+z²)=∫dz/(1+z²)+∫z dz/(1+z²)
=arctan z+(1/2)log(1+z²)となり,右辺はlog x+C、となる。Cは積分定数
arctan z+(1/2)log(1+z²)=log x+C_⑦となる。
②からz=y/x_⑧
これを⑦に入れると
arctan (y/x)+(1/2)log(1+ (y/x)²)=log x+C_⑨となる。
これ以上簡単な式にはできない。
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どこにも問題が書かれていないんだけど....

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