出産前後の痔にはご注意!

テンソルの縮約について
参考書にテンソルの縮約が以下のようにのっていました。これは間違いではありませんか。
B'ᵢⁱ=Bₖᵏ

3次元だったら
B'ᵢⁱ=3Bₖᵏ
となるのではないでしょうか。

質問者からの補足コメント

  • 理由は以下です。
    B'₁¹=∂x'₁/∂xₖ・∂xₗ/∂x'₁Bₗᵏ=δˡₖBₗᵏ=Bₗᵏ
    これより、B'₂²とB'₃³を考えると、B'ᵢⁱは3Bˡᵏになります。

      補足日時:2019/05/19 12:28

A 回答 (1件)

B'_i^j = (∂x'j/∂xn)(∂xm/∂x'i)B_m^n


なので、
B'_i^i = (∂x'i/∂xn)(∂xm/∂x'i) B_m^n = δ_n^m B_m^n = B_k^k
となります。

その成分は
B'_1^1 = (∂x'1/∂xn)(∂xm/∂x'1)B_m^n
であって、
(∂x'1/∂xn)(∂xm/∂x'1) は _1^1 については縮約されません。
1 は添字変数じゃなく、定数ですからね。

B'_i^i を縮約するときに
B'_i^i = (∂x'1/∂xn)(∂xm/∂x'1)B_m^n + (∂x'2/∂xn)(∂xm/∂x'2)B_m^n + (∂x'3/∂xn)(∂xm/∂x'3)B_m^n
となりますが。この
(∂x'1/∂xn)(∂xm/∂x'1) + (∂x'2/∂xn)(∂xm/∂x'2) + (∂x'3/∂xn)(∂xm/∂x'3) = (∂x'i/∂xn)(∂xm/∂x'i)
の + が i に関する縮約の Σ なんです。
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この回答へのお礼

解決しました。ありがとうございました。

お礼日時:2019/05/19 16:56

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