ちょっと変わったマニアな作品が集結

Vを体K上のn次元ベクトル空間とする。

B:V×V→Kを双線型形式とし、v_1,....,v_nをVのK上基底とした時、この基底に対するBの行列をMとする。

この時以下は同値であることを示してください。

(1) Bは非退化
(2)Mは正則

この問題の解答として以下のような丁寧な解答して頂きました。

x,y∈V が基底 {v_1,...,v_n} 上で x = Σ(x_i)v_i, y = Σ(y_i)v_i と表されるとき、
双線型性から B(x,y) = Σ(x_i)(y_j)B(v_i,v_j) です。この式を行列計算で表すと、
x_i を並べた列ベクトルを [x_i]、y_j を並べた列ベクトルを [y_j]、
(i,j)成分が B(v_i,v_j) である行列を M として B(x,y) = [x_i]^T M [y_j] と書けます。
これが、「この基底に対するBの行列をMとする」の意味です。

「Bは非退化」とは、すべての y について B(x, y) = 0 であれば x = 0 だということです。
すべての [y_j] について [x_i]^T M [y_j] = 0 となるような行ベクトル [x_i]^T M は
0 ベクトルですから、これは、 [x_i]^T M = 0 ならば [x_i] = 0 であることと同値です。
それって、「Mは正則」ってことですよね。


この解答について

[x_i]^T M [y_j] = 0 となるような行ベクトル [x_i]^T M は
0 ベクトル

[x_i]^T M = 0 ならば [x_i] = 0 であることと同値です。の部分が理解できません。

どなたか補足をお願いします。

A 回答 (1件)

切り出し方が間違っていますね。

だから理解できなかったんでしょう。

すべての [y_j] について [x_i]^T M [y_j] = 0 となるような行ベクトル [x_i]^T M は
0 ベクトル

です。

すべての [y_j] について v [y_j] = 0 となるような行ベクトル v は
0 ベクトル

なので、当然そうなります。
この部分も解らないようなら、v として 1個の成分だけが 1 で他の成分は 0
というベクトルを代入してみましょう。各成分についてこれをやってみれば、
v の全ての成分が 0 であることが判ります。

よって、「すべての y について B(x, y) = 0 であれば x = 0」すなわち

すべての [y_j] について [x_i]^T M [y_j] = 0 となるような [x_i] は
0 ベクトル

という条件は、

[x_i]^T M が 0ベクトルとなるような [x_i] は 0 ベクトル

と同値になります。
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