赤青黄の玉が3つずつあります。 どの玉も同じ色どうしで隣合わないように1列に並べる場合の数は何通りで

赤青黄の玉が3つずつあります。
どの玉も同じ色どうしで隣合わないように1列に並べる場合の数は何通りですか？

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/05/26 21:26

（Ⅰ）まず、赤玉3個と、その他に白玉6個を用意して合計9個を1列に並べることを考えます。

　　　その時に、白玉6個を赤玉3個で区切り、グループ分けします。
　　　大きくは次の3通りが考えられます。
　　　（１）６個を２つのグループに分ける。
　　　　　①１個と５個
　　　　　②２個と４個
　　　　　③３個と３個
　　　（２）６個を３つのグループに分ける。
　　　　　④１個と１個と４個
　　　　　⑤１個と2個と3個
　　　　　⑥2個と2個と2個
　　　（３）6個を４つのグループに分ける。
　　　　　⑦1個と１個と1個と3個
　　　　　⑧1個と1個と2個と2個
　　　　
　　　　次のように表すことができます。
　　　　　①赤白赤白白白白白赤

　　　　　②赤白白赤白白白白赤

　　　　　③赤白白白赤白白白赤

　　　　　④赤白赤白赤白白白白

　　　　　⑤赤白赤白白赤白白白

　　　　　⑥赤白白赤白白赤白白

　　　　　⑦白赤白赤白赤白白白

　　　　　⑧白赤白赤白白赤白白

　　　　　それぞれについて、他の並べ方も考えられるので、その場合の数を調べます。
　　　　　例えば⑦は他に
　　　　　⑦１．白赤白赤白白白赤白
　　　　　　２．白赤白白白赤白赤白
　　　　　　３．白白白赤白赤白赤白

　　　　　次のようになります。・・・Ⓐ
　　　　　　①2通り　②2通り　③1通り　④6通り　⑤12通り　⑥2通り　⑦4通り　⑧6通り

（Ⅱ）次に①～⑧のそれぞれについて、白玉6個を青玉3個と黄玉3個に換えていきます。
　　　ただし、同じ色どうしが隣り合わないようにします。
　　　例えば⑦では、青玉２個を白玉3個のところで換え（真ん中をあける）残りの1個を白玉1個のところ3か所のうちの1か所で換えるか、
　　　青玉1個を白玉3個のところの真ん中で換え残りの2個を白玉1個のところ3か所のうちの2か所で換える。
　　　黄玉については残りのところに自動的に決まります。
　　　したがって場合の数は　１×₃C₁+１×₃C₂＝６（通り）

　　　　　次のようになります。・・・Ⓑ
　　　　　　①2通り　②4通り　③2通り　④4通り　⑤4通り　⑥8通り　⑦6通り　⑧8通り

（Ⅲ）Ⓐ、Ⓑより求める場合の数は

　　　　２×２+２×４+１×２+６×４+１２×４+２×８+４×６+６×８＝174（通り）

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/24 00:22

玉を左から右へ順に並べてゆくことを考えます。

[1]左端が赤、左端から２個目が青だった場合、
左端から３個目は赤または黄色になります。

[1A]３個目が赤だった場合、
４個目〜右端の中に赤は１個だけです。
青と黄が隣り合わないように並べるには、
第３の赤の両側に青と黄を交互に並べるしかありません。
赤は左から４番めにはこないので、青と黄の列は
1個+4個、2個+3個、3個+2個、4個+1個、5個+0個
のどれかに分割されます。偶数個の交互並びは
青黄青黄...と黄青黄青...のどちらでも選べますが、
奇数個の交互並びは、青黄の玉数の制限から
黄青黄青...でなければなりません。
よって、[1A]のパターンの並べ方は 2+2+2+2+1 = 9通り。

[1B]３個目が黄だった場合、
４個目は赤または青です。

[1Ba]4個目が赤だった場合、
5個目〜右端の中に赤は１個だけです。
そこで[1A]と同様に考えるのですが、今度は青黄の列が
1個+3個、2個+2個、3個+1個、4個+0個 に分割され、
残っている青と黄が同数なので、
[1Ba]のパターンの並べ方は 2+4+2+2 = 10通り。

[1Bb]4個目が青だった場合、
赤と青の役割が替るだけなので、[1Ba]と同様。

よって、
[1B] = [1Ba] + [1Bb] = 10 × 2 = 20通り。
[1] = [1A] + [1B] = 9 + 20 = 29通り。

左端と左端から２個目に何色を置いても[1]と同様なので、
求める総数は、29 × (3×2) = 174通り。

なんかもうちょっとスマートなやりかたがありそうだけど。