出産前後の痔にはご注意!

AとBは同じサイズの正方行列とする。A+BとA-Bが正則行列なら
(A B
B A)は正則行列であることを示せ。

教えてください。

A 回答 (3件)

①から⑤の式は行列が見にくいので、図に表示した。


AとBはn次の正方行列とする。Eはn次の単位行列とする。
Oはn次の0行列とする。①
(E -E は2n次の正方行列である。
 O  E)
(A B は2n次の正方行列である。
 B A)
(E E は2n次の正方行列である。
 O E)
この三つの2n次の正方行列をこの順にかけると
(E -E (A B (E E  _①
 O  E) B A) O E)
=(A-B B-A  (E E 
  B   A ) O E)
=(A-B  O 
  B  A+B)
この式の行列式を計算する。
右上または左下に0行列がある行列の行列式は、
対角要素のn次行列の行列式の積となるので
①の1行目の二つの2n次行列の行列式は1となる。
det(E -E =detE×detE=1_②
   O  E)
det(E E =detE×detE=1_③
   O E)
①の3行目の2n次行列の行列式はdet(A-B)×det(A+B)となる。
det(A-B  O = det(A-B)×det(A+B)_④
   B  A+B)
ゆえに、式①の行列式は⑤となる。
det( A B = det(A-B)×det(A+B)_⑤
  B A)
A+BとA-Bが正則行列なら、右辺は0でない。よって
左辺の行列式は0でないから
(A B
 B A)は正則行列である。
同じ質問に答えたことがある。
「AとBは同じサイズの正方行列とする。A+」の回答画像3
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成分計算のほうを書いてみようかな。



A,B を n次正方とする。
T =
  A  B
  B  A
に対して、
第 j 列(j=1,2,..,n)から第 j+n 列を引く、
第 i 行(i=1,2,..,n)を第 i+n 行に足す
という操作を行うと
U =
  A-B B
  O  A+B
という行列へ変形される。
この変形で行列式の値は変わらない。
detT = detU.

U の i 行 j 列成分を u(i,j) と書こう。
行列式の成分表示は
detU = Σ[2n次の置換σについて](sgn σ)Π[i=1..2n]u(i,σ(i))
と書けるが、i≧n, j<n のとき u(i,j) = 0 であるから、
Σは、i≧n のとき σ(i)≧n (したがって i<n のとき σ(i)<n )
であるような σ のみについての和でよい。
そのような σ は、{ 1,2,...,n } へ作用する n 次の置換 σ1 と
{ n+1,n+2,...,2n } へ作用する n 次の置換 σ2 の積で表される。
detU = Σ(sgn σ)Π[i=1..2n]u(i,σ(i))
= Σ(sgn σ1σ2)Π[i=1..n]u(i,σ(i))・Π[i=n+1..n]u(i,σ(i))
= Σ(sgn σ1)(sgn σ2)Π[i=1..n]u(i,σ1(i))・Π[i=n+1..n]u(i,σ2(i))
= Σ(sgn σ1)Π[i=1..n]u(i,σ1(i))・Σ(sgn σ2)Π[i=n+1..n]u(i,σ2(i))
となるが、式中の各Σは
det(A-B) = Σ(sgn σ1)Π[i=1..n]u(i,σ1(i)),
det(A+B) = Σ(sgn σ2)Π[i=n+1..n]u(i,σ2(i))
の成分表示になっている。

以上より、
detT = det(A-B)det(A+B).
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A B


B A
の逆行列が
P Q
R S
だったとすると、
  AP + BQ = I
  AR + BS = 0
  BP + AQ = 0
  BR + AS = I
だから、これらの和や差を作ると
  (A+B)(P+Q)=I
  (A-B)(P-Q)=I
  (A+B)(R+S)=I
  (A-B)(R-S)=I
つまり、
  (P+Q) = (R+S) = (A+B)^(-1)
  (P-Q) = (R-S) = (A-B)^(-1)  
ということ。あとはつるかめ算でP,Q, R,S が決まる。
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