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(4)について教えて下さい!無限級数の極限値を求める問題なんですが、何回やっても極限値=1となってしまいます。ちなみに答えは2です

「(4)について教えて下さい!無限級数の極」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 間違えました。1×(1-2^(n-1))/1-2 です

      補足日時:2019/05/31 22:37

A 回答 (2件)

ANo.1です。



>分子の等比数列の和のところでは1×(1-2^(n-1))/1-2にならないのですか?

まずは検算してみましょう。

1×(1-2^(n-1))/1-2=2^(n-1) - 1

n=1のとき:2^(1-1) - 1=1-1=0
n=2のとき:2^(2-1) - 1=2-1=1
n=3のとき:2^(3-1) - 1=4-1=1+2=3
n=4のとき:2^(4-1) - 1=8-1=1+2+4=1 + 2 + 2^2=7
n=5のとき:2^(5-1) - 1=16-1=1+2+4+8=1 + 2 + 2^2 + 2^3=15


n=1のときの結果が違うことでも明らかですが、2^n - 1でないと、元の級数と一致しないことが分かるかと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!分かりました!

お礼日時:2019/05/31 23:46

(4)は分子を初項1、公比2の等比数列と考え、その数列の和を解くことから始めて下さい。



分子の数列の和をS[n]とすると、
S[n]=Σ[k=1,n]2^(k-1)
=1×(1-2^n)/(1-2)
=2^n - 1

lim[n→∞] (1 + 2 + 2^2 + … + 2^(n-1))/2^(n-1)
=lim[n→∞] (2^n - 1)/2^(n-1)
=lim[n→∞] 2 - (1/2^(n-1))
=2
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました!とても初歩的なことを聞くのですが、分子の等比数列の和のところでは1×(1-2^n-1)/(1-2)にならないのですか?まだよく分かっていないので教えていただけると助かります。

お礼日時:2019/05/31 22:35

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