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x+y=u,x-y=vと変換して、二重積分∫∫D(x^2-y^2)e^(-x-y)dxdyの値を求めよ。ただし、D={(x,y)|0≦x+y≦1,0≦x-y≦1とする}
という問題です。

教えてください!

「x+y=u,x-y=vと変換して、二重積」の質問画像
gooドクター

A 回答 (2件)

普通に置換積分すればいいです。


D = { (u,v) | 0≦u≦1, 0≦v≦1 },
(x^2 - y^2)e^(-x-y) = (x+y)(x-y)e^-(x+y) = uve^-u,
dudv = |(∂u/∂x)(∂v/∂y) - (∂u/∂y)(∂v/∂x)|dxdy = |1(-1) - 1・1|dxdy = 2dxdy.
これらを使って、
与式 = ∬[D] uve^-u (1/2)dudv = (1/2){ ∫[0,1] v dv }{ ∫[0,1] ue^-u du }.

∫[0,1] v dv = [ (1/2)v^2 ]_(0,1) = 1/2,
∫[0,1] ue^-u du = ∫[0,1] u(-e^-u)’ du = [ u(-e^-u) ]_(0,1) - ∫[0,1] (-e^-u) du
= -1/e - 0 - [ e^-u ]_(0,1) = -1/e - (1/e - 1) = 1 - 2/e.
より
与式 = (1/2)(1/2)(1 - 2/e) = (e - 2)/(4e).
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ヤコビヤンによる変数変換ですね。

解き方を教えます。

①被積分関数をu,vを用いて表す。

②積分範囲をu,vを用いて表す。

③x,yをそれぞれuとvを使った式で表し、dxdyをdudvにヤコビヤンを用いて変換。

④重積分を計算する。

以上。
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