剛体に働く力のつりあいの問題 （滑ることなく傾く条件）

この問題の解き方が分かりません。。。ご解説をよろしくお願いします！

一辺の長さaの立方体の形をした質量mの一様な物体が粗い水平面上に置かれており、物体の左上の角Aに水平方向と角度４５度をなす向きに力を加えた。その力の大きさFを徐々に増加させたところ、Fo　をこえた瞬間に物体は滑ることなく傾き始めた。

物体と水平面との間の静止摩擦力係数nが満たす条件は？
答えは：n＞＝1/3　

解き方を教えていただければ、幸いです。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/01 11:17

現実がその通りになるというわけではありませんが、物理では

(a) 最大静止摩擦力は、垂直抗力を N、静止摩擦係数を n として nN と表される
(b) 外から加えられる水平方向の力が、この最大静止摩擦力より小さければ物体は動かない
ということになっています。

物体が傾き始めた瞬間、物体と床との接触面が「底面全体」から「右下の辺」だけになることは考えないことにしているはずです。
（物体と床との接触面が変われば、最大静止摩擦力が変わるはずなのですが、それは考慮しない。現実には、持ち上がった瞬間に「ずるっ」と滑ることが多いと思います）

ここで、外から加えられる力が F、F が水平面となす角を θ とすると（問題では θ = 45°)
・「垂直抗力」は、物体に働く重力から「外から加えられる力の鉛直成分」を引いたものに等しい
　（物体が床を押す力がそうなるので、その反力である「垂直抗力」もその大きさになる）
　つまり
　　　N = mg - F*sinθ
・「外から加えられる水平方向の力」は「外から加えられる力の水平成分」です。
　つまり
　　　Fx = F*cosθ

よって、(a) に書いたように、最大静止摩擦の大きさは
　　Fm = nN = n(mg - F*sinθ)
(b) の「外から加えられる水平方向の力」は
　　Fx = F*cosθ
で、動かないためには
　　Fm > Fx
なので
　　n(mg - F*sinθ) > F*cosθ　　　　①
θ = 45° なので
　　n(mg - F/√2) > F/√2　　　　②

一方、物体が「傾く」ということは、右下の角を中心とした「力のモーメント」で、物体の重力による「反時計回りのモーメント」よりも「F による時計回りのモーメント」の方が大きくなったことを意味します。
物体の「重力」が働くのは「重心」位置で方向は「鉛直下向き」ですから、「右下の角」からの「腕の長さ」は (1/2)a です。
従って、重力による「反時計回りのモーメント」は、
　　M1 = mg × (1/2)a = (1/2)mga　　　　③

Ａ点と「右下の角」を結ぶ直線は床と 45° の角を成しますから、「右下の角」からの F の7「腕の長さ」は
　　(√2)a × sin(θ + 45°)
になります。
従って、F による「時計回りのモーメント」は、
　　M2 = Ｆ × (√2)a × sin(θ + 45°) = (√2)Fasin(θ + 45°)
今回は θ = 45° なので
　　M2 = (√2)Fa　　　　④

傾くためには
　　M2 ≧ M1
となればよく、③④より
　　(√2)Fa ≧ (1/2)mga
よって
　　F ≧ (1/2√2)mg = (√2 /4)mg

傾き始める瞬間の F の大きさは、上記で「等号」が成立するときなので、
　　F = (√2 /4)mg

これを②に代入すれば
　n[mg - (1/4)mg] > (1/4)mg
→　n[(3/4)mg] > (1/4)mg
→　n > (1/3)mg
となります。

この回答へのお礼

Wow! :D これだけ詳しいご解説を、本当にありがとうございます！！
そのような「力のモーメント」の応用問題に出合うと、毎回、大変迷いますね。。。
だが、ご回答を読んで分析した後、問題の流れと解き方の手順を「やっとわかった！」と思います：）
大変助かりました！ありがとう！

お礼日時：2019/06/01 18:26