y'=x/yをxで積分したら y=x^2/2yにならないのはなぜですか?

y'=x/yをxで積分したら y=x^2/2yにならないのはなぜですか?

No.3 回答者： drmuraberg 回答日時： 2019/06/02 17:57

＜y'=x/yをxで積分したら y=x^2/2yにならないのはなぜ＞

式をより具体的に書くと、dy(x)/dx=x/y(x) となります。

これをｘで積分するとは
y(x) = ∫(dy(x)/dx)dx =∫dy(x)
　　= ∫x/y(x)ｄｘ
となります。

右辺の分母にはy(x) と云うｘの関数が入っています。
このｙ(ｘ)を定数と置いて、分子のｘだけを積分するわけには
行きません。
一例としてy(x)=xの場合を考えてみましょう。
y(x) = x =∫x/xｄｘ = x+C
積分定数C=0とすれば確かに成立します。

一般的には、次の様に解きます。
y'=x/y　⇔ yy’ = x ⇔　d(y^2)/dx　= 2x　⇔　d(y^2)　= 2xdx
両辺を積分する。
∫d(y^2)　= y^2 +C1= 2∫xdx = x^2 + C2
よって積分定数C=C2-C1=0なら、平方根を取り
y(x) = ± x
となります。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/06/02 07:01

与式＝ｙ’ｙ＝ｘ　⇒　ｄｙ/dx＊ｙ＝ｘ　⇒　ｙｄｙ＝ｘｄｘ　両辺積分して　１/2＊y²＝１/2＊x²＋Ｃ

ｘ＝０のときｙ＝ｙ₀（定数）とすると、１/2＊y²＝１/2＊x²＋１/2＊y₀²から
ｙ²＝ｘ²＋ｙ₀²よって
ｙ＝ｘ²/y +y₀²/y となります。
ｘ²/y +y₀²/y＝ｘ²/２yとすると、
ｙ₀²＝－ｘ²/２となって矛盾します。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/06/01 23:10

検算すれば間違っていることが分かるかと思います。

y=x^2/2yをxで微分すると、

y'=2x/2y - (x^2)y'/2y^2
(1 + x^2/2y^2)y'=x/y
(2y^2 + x^2)y'=2xy

y'=2xy/(2y^2 + x^2)