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y'=x/yをxで積分したら y=x^2/2yにならないのはなぜですか?

A 回答 (3件)

<y'=x/yをxで積分したら y=x^2/2yにならないのはなぜ>



式をより具体的に書くと、dy(x)/dx=x/y(x) となります。

これをxで積分するとは
y(x) = ∫(dy(x)/dx)dx =∫dy(x)
  = ∫x/y(x)dx
となります。

右辺の分母にはy(x) と云うxの関数が入っています。
このy(x)を定数と置いて、分子のxだけを積分するわけには
行きません。
一例としてy(x)=xの場合を考えてみましょう。
y(x) = x =∫x/xdx = x+C
積分定数C=0とすれば確かに成立します。

一般的には、次の様に解きます。
y'=x/y ⇔ yy’ = x ⇔ d(y^2)/dx = 2x ⇔ d(y^2) = 2xdx
両辺を積分する。
∫d(y^2) = y^2 +C1= 2∫xdx = x^2 + C2
よって積分定数C=C2-C1=0なら、平方根を取り
y(x) = ± x
となります。
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与式=y’y=x ⇒ dy/dx*y=x ⇒ ydy=xdx 両辺積分して 1/2*y²=1/2*x²+C


x=0のときy=y₀(定数)とすると、1/2*y²=1/2*x²+1/2*y₀²から
y²=x²+y₀²よって
y=x²/y +y₀²/y となります。
x²/y +y₀²/y=x²/2yとすると、
y₀²=-x²/2となって矛盾します。
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検算すれば間違っていることが分かるかと思います。



y=x^2/2yをxで微分すると、

y'=2x/2y - (x^2)y'/2y^2
(1 + x^2/2y^2)y'=x/y
(2y^2 + x^2)y'=2xy

y'=2xy/(2y^2 + x^2)
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