なぜ、判別式を用いることで解の個数を知ることができるのでしょうか？

なぜ、判別式を用いることで解の個数を知ることができるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： むらさめ 回答日時： 2019/06/04 19:09

判別式を用いて解の個数を求める　というのでは理解が少ないです。

判別式は、解の公式の一部部分ですよ。
y=ax^2+bx+c
x=(-b±√(b^2-4ac))/(2･a)

解の公式を観ると判りますが、
√の中身(判別式のこと)が0であれば、一つの解
√の中身、D>0　であれば、解の公式でルートの前の±が効いて2つの解
√の中身が、D<0　であれば、実数解を持たない。

判別式で分かることは多いのですが、判別式は解の公式の一部であることが頭の中にないと使いこなせません。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/04 21:08

二次方程式 ax^2+bx+c=0 は、いわゆる平方完成を行うことで

(x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c と変形されます。両辺を 4a^2 倍して
これを、y = 2ax + b, D = b^2 - 4ac, y^2 = D と書くこともできます。
D が、ax^2+bx+c=0 の判別式です。
y^2 = D を満たす y の個数は D の符号毎に判っており、
y = 2ax + b で x と y は一対一に対応するので、
x の個数は D の符号によって判るのです。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2019/06/04 21:02

2次方程式の判別式は、解の公式で求められる式の一部分です。

具体的に言うと、y=ax²+bx+c の判別式は D=b²-4ac です。
ax²+bx+c=0 の解は x={-b±√(b²-4ac)}/2a です。
見た通り、解の公式の 後半 ルートの中が 判別式なのです。
従って、D＞0 ならば √D は 実数になりますから、解は 2つの実数があることになります。
D=0 ならば 解は x=-b/2a となって 1つの解（重根）になります。
D<0 ならば 実数解は 存在しないことになります。
（高校になると 現実には存在しない数を使って 無理やり解を計算する方法を 学びます。）

No.3 回答者： lasatoo 回答日時： 2019/06/04 19:24

判別式を用いて知ることができるのは解のうち、実数であるもの(グラフにおけるx軸との交点)の個数です。

そして判別式というのは解の中で複素数となりうる部分、すなわちルートのところを考えます。
二次方程式を考えると、ルートの中が正なら2つ実数解があり、0なら1つ、負なら0個です

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2019/06/04 19:16

解の個数を知るために、判別式を用います。

> なぜ、判別式を用いることで解の個数を知ることができる…
目的と道具が一致している、という事です。