右手系 画像の文、R∧3では右手系を正系として向きを付けるものとし、基本ベクトルはe1,e2,e3の

右手系
画像の文、R∧3では右手系を正系として向きを付けるものとし、基本ベクトルはe1,e2,e3の順に右手系をなす。
の意味が分かりません。
Wikipediaには右手系（正系)とあり、基本ベクトルとの基底の変換行列の行列
式が正のものの集まり（同値類)を右手系という。
との記述があり、教科書の記述の意味が分かりません。
教えて下さい。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/07 23:09

基底が右手系だとか正系だとかいうのは、

個々の基底に対して一意的に判定されることではなく、
基本ベクトルに対する相対的な関係です。
Wikipediaの説明が正しい。

基本ベクトルとは、内積空間に対して無数に存在する
正規直交基底のひとつを、任意に指定して
特別な役割を負わせたものに過ぎません。
ベクトル空間に対して基本ベクトルが一意に定まる
わけではありませんから、
基本ベクトルに対して相対的な関係である右手系・正系も、
各基底に対して一意に判定される性質ではないのです。
ある基底 B は、基底 E1 を基本ベクトルとすれば右手系だが
基底 E2 を基本ベクトルとすれば右手系ではない
というようなことが普通に起こります。

写真の文章が言っていることは、
基本ベクトルから基本ベクトルへの座標変換は
表現行列が単位行列で行列式の値が１(つまり正)だから、
基本ベクトルを基底とする座標系(つまり標準座標)も
右手系のひとつである...という意味では、確かに正しい。

でも、文章の印象としては、そんな自明なことを言っているようには
あまり見えませんよね。
おそらく、書いた人も、読む人の大部分も、右手系という言葉に
物理学的な直観を介したロマンというか妄想を持込み過ぎ
なんだと思います。基本ベクトルが右手系なのは、
単に「基本ベクトルは右手系」と規約したからに過ぎず、
幾何学や物理学と関係ある話ではないんです。

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/06/05 19:21

フレミングの右手の法則はご存知ですか?

3次元空間で、どの方向を正とするかを定めたものです。
ピアノの用語では親指を1、人差し指を2、中指を3、薬指を4、小指を5と番号付けします。
そして、親指・人差し指・中指を互いに直角になるように伸ばしたとき、右手の親指が x、人差し指が y、中指が z となるような座標系を採用することを右手系と言います。このとき基本ベクトル e1, e2, e3 はピアノの指番号と一致しています。
同様に逆の向きなら左手系ですね。