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期待値の意味が分かりません。教えてください

A 回答 (7件)

企業に勤務する統計家です。



#4さんに1票。

ご質問者は、E(P)、E(p)、E(P|p)の区別がついていないのだと思います。今はE(P|p)なんですよ。

期待値の定義は、もし、その操作を無限回繰り返したら、得られる「事象」あるいは「個々の観測」の算術平均はいくらかという値です。事象や観測が計量値ではなく回数であると期待値は確率になります。その求め方は、「事象」と「観測」では微妙に違います。

次の通りです。Eはエクスペクテーション(期待値)の頭文字です。
E(P)=∫g(x)f(x)dx、一次の積率
E(p)=max(L(p|x))、尤度関数の最大化
E(P|p)はPの式にE(p)を代入したもの

E(P)は「事象」の期待値です。「コインを10回投げ表が2回観測されるは全体の何%か」多くの人は2回と何%の区別が付きません。(条件は暗にp=0.5とされています)
E(p)は個々の「観測」の期待値で、「試行1回あたりの白玉の期待値」「試行1回あたりの黒玉の期待値」です。
E(P|p)は事象の条件付き期待値と言います。「コインを10回投げ表が2回観測されたとき、表が2回観測されるのは全体の何%か」殆どの人は、上のE(P)との違いが分かりません。あるいは「コインを10回投げ表が2回観測されたとき、コインを10回投げた時の表の出る期待値を求めよ」こうなるとお手上げの人が多いのではないでしょうか。さらには、古典的推定(最尤法)とベイズ推定では答えが異なりますのでやっかいです。

さて、ここでの事象は「揃うまでの回数」です。これを条件付きで求めよ、という問題です。

各観測の確率pは問題文中で与えられた個数から算出可能です。それよりE(P|p)を計算することになります。揃うまでの個数をxとして、まずはPを求めます。
これは「非復元抽出」ですから超幾何分布になります。
Pの期待値を与えるxがxの期待値になります。

このヒントで分からなければ、再度質問して下さい。
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No.4 です。

「お礼」に書かれたことについて。

>「2個の白玉とn-2個の黒玉が入っている箱がある。
>この箱から玉を1個ずつ,1個目の白玉(どちらの白玉でもよい)が出るまで,非復元抽出で取り出すとき,取り出す玉の個数の期待値を求めよ」
>が解けませんでした。
>まぁ玉の個数の期待値ですが,玉の個数の確率とか考えるとよくわからないんです。

言葉の上では「玉の個数」と言っていますが、正しくは「取り出す回数」の期待値ですよ。
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期待値は仮想的に、無限に標本をとったときの平均値と考えるといいと思います。



例えばサイコロを無限にふったら、それぞれ全体の1/6の割合で1,2,3,4,5,6が出るので、例えば6N回振ったとして、
(1×N+…+6×N)÷6N=3.5
となります

今の式で÷6Nを足す前の数にそれぞれしていくと、
1×1/6+…+6×1/6
となります。これは期待値の定義そのものですね!
もともと確率というものは無限に試行したときにある場合となる場合の数の割合とみなせるのです。だから期待値とは理想的な平均値だとみなせばいいと思います。
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No.2です。

「お礼」に書かれたことについて。

>しかし,どの数値かどうかがよくわからなくなるんですよ

んん? 「何の」期待値を求めるのかが分からなくては、計算以前の問題ですよ。
「目の前の数値を機械的に計算する」のではなく、「何を求めるのかを決めて計算する」というだけのことですよ。

たとえば、どんな場合ですか?
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この回答へのお礼

例えば,解けなかった問題ですが
「2個の白玉とn-2個の黒玉が入っている箱がある。
この箱から玉を1個ずつ,1個目の白玉(どちらの白玉でもよい)が出るまで,非復元抽出で取り出すとき,取り出す玉の個数の期待値を求めよ」
が解けませんでした。
まぁ玉の個数の期待値ですが,玉の個数の確率とか考えるとよくわからないんです。

お礼日時:2019/06/08 19:19

例えば 1枚100円の宝くじがあって 1枚のくじがあたる確率は1/20で当選金は10000円だとします。


このとき、期待値(期待金額)は
0x(19/20)+10000x(1/20)=500円です。
これは、何を意味するかと言うと
この宝くじを1枚や2枚買っただけでは当たらずに損をするかもしれないが、
何千、何万・・・と買い続ければ平均500円の見返りがあるという事を示しています。
という事は100円出すごとに500円返ってくるので大量に買えば必ず得するという事を意味します(現実にこのようなくじは有りませんが・・・)
金額に限らずですが、期待値はこのような意味を持っています
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「得られる結果の確率的な平均値」ということです。



「サイコロ」であれば、1~6の目が各々 1/6 の確率で出るので、「出る目の期待値」は
 1 * 1/6 + 2* 1/6 + 3* 1/6 + 4* 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5
になります。

一般には、出現値 X の確率密度が P(X) であれば、期待値は
 E[X] = ∫[0 → ∞]X*P(X)dX
になります。
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この回答へのお礼

そこは理解できました。
しかし,どの数値かどうかがよくわからなくなるんですよ

お礼日時:2019/06/08 11:32

それぐらい、自分で調べようよ。


サービス。
https://ja.wikipedia.org/wiki/期待値
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