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x-y平面上で原点を中心とした半径1の円を経路Cとする。この平面上で↑B=(-y,x)というベクトル関数がある。↑B=(-y,x)を経路Cにそって積分せよ。という問題で、線積分を使って、0から2πまで積分するっていうのはイメージつくのですが途中の細かいベクトルの計算などがよく分かりません。解説していただけると幸いです。

質問者からの補足コメント

  • 自分なりに計算したら2πになりました、、、
    あってる気がしません。

      補足日時:2019/06/08 21:59

A 回答 (2件)

細かい計算も何も、ただ計算しろってだけの問題でしょう?


「経路Cにそって積分せよ」というのは「経路Cにそって線積分せよ」ってことですから、
イメージつくも何も、それは問題の文そのままです。

まず、経路Cをパラメータ表示します。パラメータは何でもいいのですが、
(x,y) = (cosθ,sinθ) ; 0≦θ<2π を使うのが簡単でしょう。
B の C に沿った積分は、∮B・dC = ∫[0,2π]B・(dC/dθ)dθ
= ∫[0,2π](-y,x)・(dx/dθ,dy/dθ)dθ
= ∫[0,2π](-sinθ,cosθ)・(-sin,cosθ)dθ
= ∫[0,2π]{ (-sinθ)^2 + (cosθ)^2 }dθ
= ∫[0,2π]1dθ
= 2π - 0
= 2π.

パラメータは (x,y) = (cosθ,sinθ) ; 0≦θ<2π でなくても
(x,y) = (cos2θ,sin2θ) ; 0≦θ<π でも何でもよいです。
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2πまで積分ってイメージあるなら答えはでるはず。



経路Cから、2変数を1変数θで表現すると、
ベクトル場は、B =(-sinθ , cosθ)
単位接線は、(dx/dθ , dy/dθ)=(-sinθ , cosθ)
内積してθで積分しするとθだから、0~2π範囲で答えは2π。

なので合ってると思うけど、僕も数学者じゃないから・・・
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