x^2＋y^2＝16という円の方程式についてわからないことがあるので教えてください。

円の方程式についてわからないことがあるので教えてください。

x^2＋y^2＝16は原点を中心とする半径4の円になりますが、この式を変形してみます。

４－y^2＝x^2－12 として （４－b^2）/（12－x^2）＝－1とします。

すると、分母≠０より 12－x^2≠０ ｘ≠±２√3となります。

ｘ＝±２√3を円の式に代入するとy＝2，－2

以上より


x^2＋y^2＝16上の４点（±２√3，2），（±２√3，－2）が消えてしまいます。


式変形は間違ってないと思うのですが、どうして図形が変わってしまうのか、数学的に教えていただきたいです！

質問者からの補足コメント

• 

  ありがとうございます、大変理解でき、勉強になります。
  
  では最後にお聞きしたいのですが、仮に（まず出ないと思いますが）
  
  （４－b^2）/（12－x^2）＝－1　この式の図形を描けという問題が出たとします。
  
  その場合は（±２√3，2），（±２√3，－2）を除かなければ減点対象になりますよね？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/06/09 01:56

• 

  しかも、なぜか、yがbになってますね、今気づきました（汗

    補足日時：2019/06/09 02:00

No.6 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/06/10 13:40

(4-y²)/(12-x²)=-1

この式の図形を描きなさいと言われたら
【原点中心、半径４の円を描き、ただし、4点(2√3,2),(-2√3,2),(2√3,-2),(-2√3,-2)を除く】
となります。
除かなければ、減点ですね。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/09 07:31

もっと簡単な例

x=1 ①

両辺をx-1で割ると
x/(x-1)=1/(x-1) ②

②ではx=1は解ではありません。

0で割ることは禁止されてますから、両辺をx-1で割ることが許されるのは
x≠1のとき。つまり②の式はx≠1という条件下では①と同等ですが
x=1という条件下では①から②を導けません。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/06/09 02:33

そう, ちゃんと「除外すべき点」は除外しないといけない.

そこまで単純な例はないけど, 例えば媒介変数 m によって
x = (m^2-1)/(m^2+1), y = (2m)/(m^2+1)
と表される図形を考えてみようか. この場合ちょっと計算すれば
x^2+y^2 = 1
となるんだけど, どんな m に対しても (1, 0) は出せないからこの点は除外しないといけない.

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/09 01:08

＞すると、分母≠０より 12－x^2≠０ ｘ≠±２√3となります。

論理の順序が逆です。
12－x^2≠０の場合に、（４－b^2）/（12－x^2）＝－1　とできるです。

では、12－x^2＝０の場合は、というと
　４－y^2＝x^2－12
なので
　４－y^2＝０
です。

つまり、こちらの場合に（±２√3，2），（±２√3，－2）が含まれて、併せて「すべて含まれる」ということになります。
めでたし、めでたし。

No.2 回答者： lasatoo 回答日時： 2019/06/09 01:02

訂正

「式を割る」→「式で割る」

No.1 回答者： lasatoo 回答日時： 2019/06/09 01:01

式変形でxの入った式を割るときは、それが0でないという条件も付け足さなければならないです！

難しく言うと式の同値性が崩れます。
x≠±2√3じゃないと途中の変形はできないということです。