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画家の式は同じ式ですか?

画家の式は cosθの微分の式なのですが二つの式は正しいでしょうか?
また、-cos(θ+dθ)+ cosθ/θ+dθ-θと
-cosθ+ cos(θ+dθ)/θ-(θ+dθ)は同じ式なのでしょうか?
というか、-cos(θ+dθ)+ cosθ/θ+dθ-θは
-cosθ+ cos(θ+dθ)/θ-(θ+dθ)と置けますか?

「画家の式は同じ式ですか? 画家の式は c」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 皆さんはθが90°より大きい場合のcosθの微分の式をどうやって作っているのですか?
    θに値を代入して大きい値を前に持ってくるなどしているのですか?

      補足日時:2019/06/09 17:24
  • cosθ-cos(θ+dθ)/θ-(θ+dθ)と
    はcos(θ-dθ)-cosθ/(θ-dθ)-θは同じ式でしょうか?
    同じな場合、過程の式を用いて理由を教えて下さい。

      補足日時:2019/06/09 21:44

A 回答 (2件)

分母はどちらもdθですね!


分子を考えましょう!
cosθ−cos(θ+dθ)
=cosθ−cosθcosdθ+sinθsindθ
=cos(1−cosdθ)+sinθsindθ

cos(θ−dθ)−cosθ
=cosθcosdθ+sinθsindθ−cosθ
=−cosθ(1−cosdθ)+sinθsindθ

第1項が+か−かの違いですね!
ここでx≒0のときはsinx≒xを用いて
cosdθ
=1−sin²dθ/2
≒1−(dθ/2)²
となります!
なので1−cosdθは(dθ/2)²となります!
ここでdθの二乗の項はdθで割られても消えないので結果として0になります。
式でいうと
{cos(1−cosdθ)+sinθsindθ}/dθ
≒{(dθ/2)²+sinθdθ}/dθ
=dθ/4+sinθ
→sinθ(dθ→0)

{−cos(1−cosdθ)+sinθsindθ}/dθ
≒{−(dθ/2)²+sinθdθ}/dθ
=−dθ/4+sinθ
→sinθ(dθ→0)

となります!
結局cosのところはdθの2次項なので、直線の傾きを求めるとき(すなわち1次近似!)のときは無視できるということが言えます!
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https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11158710.html
の No.2 も参照してください。

図形へ翻訳する際に変数の値によって図に場合分けが必要な式
について図形を通して考察するのは、一般に悪手です。
話が複雑にしかなりません。

今回の場合、dθを無理に正の値として取り扱おうとしたために
θの値によって異なる図になってしまったのですね。

質問のふたつの式は、dθが正の値である限り、異なる式です。
両式のdθを別の文字で置いて (左のdθ) = -(右のdθ)
とすれば、ふたつの式は一致しますし、
dθ→0 の極限では、同じ値を表しますが。
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