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a,b整数でpを素数とする時
①ab=p (a,b>0)⇒(a,b)=(1,p) or (p,1)
②p|ab⇒p|a or p|b
とはどういう事でしょうか?

A 回答 (8件)

素数とは、2以上で1か自分自身でしか割れない自然数と定義されてますよね。


a,b整数でpを素数とする時、
①ab=p を満たすのは⇒(a,b)=(1,p) or (p,1)しかない。
②p|abを満たすのは①からp|ab=1⇒b=1の時、p|a=1,p=a or、a=1の時 p|b=1,p=bしかない。
という事です。
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a,bが整数でpが素数とするのがおかしい。



pは素数でない。
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(a,b)=(1,p) or (p,1)とは


これを言い換えると(a,b)=(1,p)または(a,b)=(p,1)(カッコ内で左から同じ個数目の数が対応しています)

「a=1かつb=p」((a,b)=(1,p))または「a=pかつb=1」((a,b)=(p,1))を表しております

すなわち、①はaとbがどちらも、0より大きな整数であるとき、
素数をaとbの積で表すと、必ず「a=1またはb=1」になるということです

また、p|abはabをpで割ったとき、商が整数で余りがでない、すなわち割り切れることを表します。

すなわち、②はabをpで割り切れるなら、aをpで割り切れる、もしくはbをpだけで割り切れるということを表しています。

例えばp=3,ab=15だった場合、abをpで割る、すなわち15を3で割ると割り切れます
このとき「aはpで割れる」あるいは「bはpで割れる」のどちらかが成り立つことを表しています。

理解できなければ何度でも仰ってください。詳しく説明します。
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>(,)は最大公約数を表しているわけではなくa=1b=p,a=p,b=1という事でしょうか?


だ・か・ら・
質問者さんがどこまで理解しているかわからないので、
まずは、①②をそれぞれ日本語にしてから質問してください。

記号の理解が間違っていては、せっかく回答しても、質問者さんの理解に通じないと思います。
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>(,)は最大公約数を表しているわけではなくa=1b=p,a=p,b=1という事でしょうか?



なんでここで最大公約数が出てくるかな。
(a,b)=(1,p) or (p,1) は、数対の比較 (a,b)=(1,p) or (a,b)=(p,1) ですよ。
(a,b)=(1,p) は、a=1 and b=p という意味。 普通に行きましょう。
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この回答へのお礼

整数の範囲で①を素数の定義にした場合②はどのように導かれるのでしょうか?

お礼日時:2019/06/12 21:47

>(1,p)と(p,1)は同じものではなく別のものなのはなぜなのでしょうか?



そりゃ、a と b が別の変数だからですよ。
「1 と p の積」って言ってしまえば、両者を一緒くたにすることが可能ですが。
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この回答へのお礼

(,)は最大公約数を表しているわけではなくa=1b=p,a=p,b=1という事でしょうか?

お礼日時:2019/06/12 15:23

整数を一般化した、加減乗算が普通にできる環境を、代数学で「環」といいます。


環において、②を満たす p を「素元」、
①とはちょっと違うのだけれど
❶ab=p ⇒ (a,b)=(e,p) or (p,e), ∃x,ex=1 を満たす p を「既約元」と呼びます。

一般の環において、素元は常に既約元だけれど、既約元は素元だとは限りません。
環の元は必ず既約元の積に分解されますが、分解は一とおりだけとは限らず、
素元の積に分解されるとも限りません。

既約元の積への分解が常に一とおりであるような環を「一意分解環」といい、
一意分解環では❶と②は同値です。そのため、
一意な既約元分解は素元分解になります。

整数は通常の加減乗算に関して環になりますが、この環は一意分解環です。
整数においては❶と②は同値ということです。
整数は環としての性質の他に大小比較を持つので、❶を①と書くこともでき、
素数の定義として①でも②でもどちらでも選べるのです。

...というと実は話の順番が逆で、
整数を一般化して環を定義したときに、素数という概念が
既約元と素元に分かれてしまったのでした。
整数では区別が無かったけれど、一般の環では
そのふたつは違うことだよと。
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この回答へのお礼

解答感謝致します.基本的な事の質問で申し訳ないのですが,(1,p)と(p,1)は同じものではく別のものなのはなぜなのでしょうか?

お礼日時:2019/06/12 14:33

>とはどういう事でしょうか?


質問者さんがどこまで理解しているかわからないので、
まずは、①②をそれぞれ日本語にしてから質問してください。
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