関数の増減: ある区間で常にf‘(x)>0ならばf(x)はその区間で増加し、f’(x)<0ならば減少

関数の増減:
ある区間で常にf‘(x)>0ならばf(x)はその区間で増加し、f’(x)<0ならば減少する。
とあるのですが、学校では不等号に等号が入ると教わりました。どちらが正しいのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/13 01:24

不等号に等号が入らないほうが正解です。

No.1さんの言うとおり、単調増加/単調減少 には
「a<bならばf(a)<f(b)である」という狭義単調増加
「a<bならばf(a)>f(b)である」という狭義単調減少と
「a≦bならばf(a)≦f(b)である」という広義単調増加
「a≦bならばf(a)≧f(b)である」という広義単調減少とがあり、
これは f(x) が微分可能でなくても定義されるのですが、

特に f(x) が微分可能である区間では
「ある区間で常にf’(x)>0ならばf(x)はその区間で狭義単調増加し、f’(x)<0ならば狭義単調減少する」
「ある区間で常にf’(x)≧0ならばf(x)はその区間で広義単調増加し、f’(x)≦0ならば広義単調減少する」
が両方成り立ちます。どちらも正しい定理です。

ただし、狭義/広義 を明記せずにただ 増加/減少 と言ったら
狭義単調増加/狭義単調減少 を指すものと定義されているのです。
これは用語の定義ですから、理屈を言ってもしかたがありません。
「不等号に等号が入る」と授業で言ってしまった先生は
不注意だったと言うべきでしょう。

この回答へのお礼

定義されていたことは知りませんでした！
ありがとうございます

お礼日時：2019/06/13 06:11

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2019/06/12 20:59

f'(x)=0 の場合は、厳密には増加も減少もしないことになりますね。

それを 含めるか 含めないかの 違いです。

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2019/06/12 20:26

数学の教育現場でどのように教えているのか判らないですが、

関数が単調に増加(減少)する場合、単調増加　f’(x)≧0　(イコールの線は1本)　、単調減少　f’(x)≦0　(イコールの線は1本)
で判断したりするのですが、不等号の下に”－”のイコールが入るか入らないかで更に区別されます。

上述した場合は、特に広義単調増加(減少)や広義単調増加(減少)関数と言います。
不等号の下に”－”のイコールが入らない場合、狭義単調増加(減少)や狭義単調増加(減少)関数といいます。

どちらが正しいというよりも、イコールが付く意味とその区別を教えないといけないのですが、これは教え方が悪いですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/06/12 21:16