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数1です。
二次不等式の判別式の使い方がわかりません。

自分は、まずxをとりあえず求めて、判別式Dが負のときや0のときは、x軸から離れているか、接しているか...のようにもとめるんですけど

答え見たら、しょっぱなからD=〜だから・・・って書いてあります。

どうやって、ふつうにxを求めるときと、最初からDを使うとに分けたらいいんですか?

変な文章ですみません。

A 回答 (7件)

基本的にあなたの考え方で良いです。


xの2次式=0とおいてxを求めることも、
xの2次式から、2次関数のグラフをイメージしてグラフがx軸から離れているかどうか調べるのも良い作戦!
ただし、それらは頭の中、もしくは余白で行う事であって、答案には次の方針で臨めばよいです
①xの2次式=0の答えが2つ求まる時(グラフがx軸と2点で交わる時)
標準的な記述テクニックとして、判別式Dに触れる必要はありません。

問題:3x²+20x-7>0を解け
答案:3x²+20x-7=0を解くと(x+7)(3x-1)=0 ゆえにx=-7,1/3
よって3x²+20x-7>0の解は x<-7,1/3<x

問題:x²+x-6≦0を解け
答案:不等式を変形して(x+3)(x-2)≦0
よって、x²+x-6≦0の解は-3≦x≦2

②xの2次式=0の答えが重解の時(グラフがx軸と1点で接する時)
Dに触れる必要はありません。

問題:x²+2x+1>0
答案:左辺を因数分解すると(x+1)²>0
x+1≠0なら(x+1)²>0が成り立つ
ゆえにx²+2x+1>0の解は-1以外のすべての実数

③xの2次式=0の答えがない時(実数解を持たない時、グラフがx軸と離れている時)
冒頭でDについて述べるとスマートかつ標準的な答案が作れます

問題:x²-4x+5>0
(y=x²-4x+5=(x-2)²+1 の頂点は(2,1)だからグラフはx軸から離れている)
答案:x²-4x+5=0について
D/4=(-2)²-1・5=-1<0   ←←←D<0を示しても良い。これでグラフ的にはx軸から離れているという意味になる
また、x²の係数は正である。
ゆえに、すべての実数xについてx²-4x+5>0が成り立つから、求める解はすべての実数

(参考:x²-4x+5>0の別解として
左辺=(x-2)²+1は常に正であるから、解はすべての実数
と言うような記述にするとパターン③でもDについて触れずに答案が作れます)
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この回答へのお礼

詳しい回答ありがとうございます!
理解できました!!

お礼日時:2019/06/17 23:15

それでいいでしょ。



まず、「2次不等式」の不等号を等号に変えた「2次方程式」の解を考えて、実数解を持てば、
その数字がそのまま「2次不等式」の解になる。

実数解を持たなければ、答案の最初から「2次方程式 ○○○=0において、その判別式D<0だから、題意の2次不等式
の解は、○○○である。」って感じで書けばいい。
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この回答へのお礼

分かりました!
ありがとうございます!!

お礼日時:2019/06/17 23:15

判別式には、2通りの使い方があり、問題文によって、使い方が異なりますね!


私も、そのことがなかなか理解できませんでしたね!ですから、
私の提案として、判別式に拘らずに、平方完成によって、グラフの(概形)を描くことで
理解することをお勧めします!
平方完成って、2次方程式の解の公式を証明するときに使ったやつですね!
まず、具体的に、図形化して理解した上で、完全にわかったときに、判別式に移行すれば理解し易いでしょう!
回答って、紙面の都合があるから、簡潔に、また省略したりするのでわかりにくいですね!
また、数学を暗記と考える人には、高校数学は難しいんじゃないかな!?
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この回答へのお礼

ありがとうございます!理解できました!!

お礼日時:2019/06/17 23:14

na-3nnさんの解き方で良いと思います。


解けるのであれば、判別式をかく必要はないです。
解けない時に、判別式や平方完成を使って答案を作ればよいと思います。
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まず、二次式と大小比較するのは定数です。


その定数が0でない場合は、定数を0(x軸)になるよう式変形を行います。例えば、

x^2 - 6x + 7<2

の場合、
x^2 - 6x + 7 - 2<2-2
x^2 - 6x + 5<0

にします。
二次不等式は0との大小関係で条件を満たす二次式の解か存在するかどうかを調べる準備を整えることが前段階になります。

判別式Dはx^2 - 6x + 5=0とみなしたときの実数解の個数を調べるには有効ですが、二次不等式では少々扱いづらいでので、自分はあまりお勧めしません。

解けるなら判別式を用いず因数分解しても構いません。
この例の場合、因数分解を用いると、
(x-1)(x-5)<0
1<x<5

となります。
もう一つは平方完成を用いる方法です。別の例で、

x^2 - 4x + 5 >0

の場合、平方完成を行うと
(x-2)^2 - 4 + 5>0
(x-2)^2 + 1>0

(x-2)^2≧0であるから、(x-2)^2 + 1≧1>0
なので、全ての実数でx^2 - 4x + 5 >0を満たします。

ちなみに、(x-2)^2 - 4x + 5=0とみなすと判別式D=4^2 - 4×1×5=-4となり、(x-2)^2 - 4x + 5=0を満たす実数解は存在しないは分かるが、次の行動に移りにくい。

二次式の各係数が大きく、計算が難しいとかならともかく、二次不等式に判別式は無理に使う必要はないと思います。
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> まずxをとりあえず求めて



この時点で、判別式を使っているのでは?
判別式式で「判別」はしてないかもしれませんが
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どうだってかまわないんですが、


一応先に「判別式のチェック」をするのが基本です。
なぜかと言いますと、二次不等式では判別式をチェックしなければ「xをとりあえず求めて」なんてできないからです。

おそらく質問者さんは、たとえばx^2-8x+15>0という二次不等式があったときに、
「x=3, 5と求める」ことを「xをとりあえず求めて」と表現されたのでしょうが、これがまず間違いです。
この作業は、x^2-8x+15>0という二次不等式の解を求めるために、いちど二次方程式x^2-8x+15=0についてその解を求めたもので、
二次不等式のxを求めたわけではありません。二次不等式 x^2-8x+15>0 の xを求めると x<3, 5<x なので。

この勘違いだとしても、「xをとりあえず求め」るためには判別式のチェックが必要ですよね。
判別式って二次方程式の解の公式のルートの中身のことですよ。分かってますか?
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