「※ただし、関数によっては h → +0 と h → -0 で変化率の値や符号が変わることはありえま

「※ただし、関数によっては h → +0 と h → -0 で変化率の値や符号が変わることはありえます。
例えば y = |x| の x=0 で極限の計算をすると、h → +0 と h → -0 で符号が真逆になります。
」と言われて以下のことを考えました。

極限とのことですが y = |x|をh→+0とh→-0の二つの場合でやった際に、h→+0をh→-0と置き換えても同じ式にはならないのでしょうか？
また、仮に変化率の値や符号が変わることがあるにしてもh→+0とh→-0の二つの場合は＝でないにしても≒のようになったりするのでしょうか？（0.0000001≒－0.0000001のような感じです。とても小さいためほぼ同等にみせるような感じです。）
と考えたのですが、以上の考え方でも良いでしょうか？

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/06/17 11:30

>極限とのことですが y = |x|をh→+0とh→-0の二つの場合でやった際に、h→+0をh→-0と置き換えても同じ式にはならないのでしょうか？

ここで考えているは変化率のことです。
つまり
lim[h→+0]{(|x+h|-|x|)/h}
と
lim[h→-0]{(|x+h|-|x|)/h}
がx=0において一致するか、ということです。
上記の式は単にy=|x|の傾きを計算しているに過ぎないのですが、y=|x|の傾きはx>0とx<0ではそれぞれ1,-1と一定の値をとります。≒というわけではありません。1と-1という符号すら違う全く異なる値になります。

イメージとしてはy=|x|のグラフを書くとx=0で直角に折れ曲がり先が鋭くなります。このような点では微分ができない、ということです。

質問者は図が好きですので一度そのグラフを書いてみるとよいと思います。
元からなめらかな線であればプラスからの極限とマイナスからの極限は一致するのが普通です。
(ただし、質問者の書いている曲線は今回の微分で扱う曲線ではありませんのそこのところはご注意を)