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不等式の問題(一番下のグレーの滋賀県大学のです)
解説が理解出来ません。鉛筆の丸で囲んだ2箇所です。なぜその数になるのがわかりません。わかりやすく教えて下さい。

「数学教えて下さい」の質問画像

A 回答 (3件)

(1)ax²+bx+c=0の 判別式 D=b²-4ac ですが、xの係数bが偶数の場合は、b=2b´とすると


D=(2b´)²-4ac=4(b´)²-4ac となり、D/4=(b´)²-ac となるので、Dを計算するよりD/4を計算する方が楽です。そこで、xの係数が偶数の場合は、判別式 D/4をよく使います。

(2)D₂≦0は、画像の1行目のマーカーの部分のものです。おそらく画像の少し上にある不等式が成立するために出てきた条件です。
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2乗の係数が正なのはyだけなので(x²、z²は係数aで正負が不明)


yだけを特別視してyに関する2次不等式と捉えます(y以外は定数扱い)
すると、与えられたyの2次不等式が常に成り立つための条件は
y²-(x+z)y+ax²+az²-zx=0の判別式D≦0です
(これはy以外は定数扱いとして、f(y)=y²-(x+z)y+ax²+az²-zxとすれば、yの2次関数のグラフ(横軸y、縦軸f(y))が横軸と1点で接するか、横軸より上方に離れていれば良いという意味)
Dの公式に当てはめれば
D=(x+z)²-4(ax²+az²-zx)=(1-4a)x²+6zx+(1-4a)z²≦0…①
つまり、問題の不等式が常に成り立つためには、①が常に成り立たないといけないということ

ここで、①以外は一旦忘れましょう!
①式の意味は(z以外は定数扱いで)zの2次関数、g(z)=(1-4a)z²+6xz+(1-4a)x²のグラフ(横軸z、縦軸g(z))が
横軸と1点で接するか、横軸より下方に離れているという事になりますから、
(1-4a)z²+6xz+(1-4a)x²=0の判別式をD2とすれば
(1-4a)<0 ←←←①が常に成り立つのは、zの2次関数のグラフが上に凸、つまりz²の係数が負であること が必要条件
D2≦0 (D₂/4≦0) ←←←グラフが横軸と1点で接するか、横軸より下方に離れていることを意味する
の2条件を同時に満たす必要があるのです

なお(z以外は定数扱いだから)、(1-4a)z²+6xz+(1-4a)x²=0の判別式Dは
D=36x²-4(1-4a)(1-4a)x²
または
D/4=9x²-(1-4a)(1-4a)x²
です。従って、
36x²-4(1-4a)(1-4a)x²≦0
9x²-(1-4a)(1-4a)x²≦0ですが 
どちらの式を整理しても画像②式が得られます
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1つ目:計算を楽にするテクニック


2つ目:自分でもマーカー引いとるんやけんわかるやろ
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