問題5が分からないです お願いします

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No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/19 03:30

２階微分可能な関数 f(x) については、

下に凸 ⇔ f’’(x)>0,
上に凸 ⇔ f’’(x)<0　です。

f(x) = x^a については、 x>0 の範囲で　f’’(x) =
(a=0の場合)　0,
(a=1の場合)　0,
(それ以外の場合)　a(a-1)x^(a-2)　なので、

a=0 のとき、f’’(x)=0 だから下に凸でも上に凸でもない。
0<a<1 のとき、f’’(x)<0 だから上に凸。
a=1 のとき、f’’(x)=0 だから下に凸でも上に凸でもない。
a>1 のとき、f’’(x)>0 だから下に凸。
...となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/06/19 14:08

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/06/18 15:06

ｆ(x)=x^α、logf(x)=αlogx両辺微分して

f(x)'/f(x)=α'logx+α/x
f(x)'=x^α(α'logx+α/x)=x^α(α/x)=αx^(α-1)
(a)α=0,f(x)'＝０変化なし・・・どちらにも凸ではない。
(b)0<α<1,f(x)'>0単純増加・・・どちらにも凸ではない。
(c)α=1,f(x)'＝1変化なし・・・どちらにも凸ではない。
(d)1<α,f(x)'>0単純増加・・・どちらにも凸ではない。
よって、０≦αでf(x)に極値なし。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/06/19 14:08

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/18 14:44

α＝０ではf(x)=x⁰=1（水平な直線）だから上に凸ではない

f'(x)=αx^(α-1)
f''(x)=α(α-1)x^(α-2)
より

(b)なら、α-1＜０だから、α(α-1)<0
またx>0ではx^(α-2)>0
よって　b)の条件ではf"(x)<0
従って上に凸
(c)
α=1ならf(x)=ｘ　（直線）だから上に凸ではない

d
α(α-1)>0,x^(α-2)>0だから
f"(x)>0 →下に凸

この回答へのお礼

ありがとうごさいます！

お礼日時：2019/06/19 14:08