出産前後の痔にはご注意!

赤色の玉が2つ,青色の玉が2つ,黄玉が2つ,白玉が1つある。これを糸に通して輪を作るとき

輪は何通り出来るか。

これの解き方と回答を教えてください。

A 回答 (3件)

No.1です。

ああ、私も見事に引っ掛かりましたね。#2 さんが正解です。

1列に並べたときに左右対象となるものは、1列のときに「同じ色の入れ替え」で除外されています。
従って、「輪にしたときに左右対称になるもの」は、もともと1つしかないので、単純に全部を 1/2 にすると余分に引きすぎてしまいます。
「輪を裏返したときに同じになるものを除く」という操作のときには、この「左右対称になるもの」を除外しないといけません。

左右対称になるのは、玉が奇数個ですから、1個である「白」を中心にして、残りの3色がその左右に対象に並ぶときで、3色の並び方は
 3! = 6 とおり
です。
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個数が1個の白を固定して考えます。

固定したので、円順列でなく普通の順列として考えることができます。赤、青、黄、各2個、計6個の並び方は、同じものを含む順列の数の公式を用いて、
6!/(2!・2!・2!)=90(通り)

この90通りの中には、この輪を裏返したときに同じになるものがだぶって数えられていますので、それを解消しなければいけません。もともとが左右対称のもの(白の両隣が赤、その両隣が青、その両隣が黄のような並び方。赤、青、黄の順番を変えることで全部で6通り)を除いて、90-6=84(通り)が、だぶって数えられているので、半分にしてだぶりを解消します。84÷2=42(通り)

したがって、求める輪の数は、これに左右対称のもの6通りを加えて、42+6=48(通り) です。
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これを「1列に並べる」並べ方は分かりますか?



「異なった7種」の並べ方なら「7! とおり」です。
(一つ目は「7つからどれでもよいので7通り」、二つ目は「残り6つからどれでもよいので6通り」、三つめは・・・ということです)

この場合には「赤2つ」「青2つ」「黄色2つ」が、「同じ色を交換しても、並びとしては同じもの」になるので、それを差し引かなければなりません。
「すべての並べ方」で「赤2つ」を入れ替えても同じ並びなので、並べ方は 1/2 になる。
「すべての並べ方」で「青2つ」を入れ替えても同じ並びなので、並べ方は 1/2 になる。
「すべての並べ方」で「黄色2つ」を入れ替えても同じ並びなので、並べ方は 1/2 になる。
なので、その並べ方は
 7! /(2*2*2) = 7! /8 とおり
になります。

この「1列」を「輪」にすると、「一番左のものを一番右に移動したもの」は「輪っかを1つ分回転させたもの」になって、「並びとしては同じ」になります。結局、1~7個分回転させたものは、みな同じ並びになります。これで 1/7。
また「輪っかを裏返し」にしたもの(元の「1列」を左右反転させたものに相当)も、「並びとしては同じ」になります。これで 1/2。

ということで、「輪」としての並べ方は
 7! /(8 * 7 * 2) = 45 とおり


テーブルを囲むような場合には「裏返し」がないので「円順列」、首飾りのような場合には「裏返し」のある「数珠順列」になります。
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