確率漸化式の問題です。 箱の中に初め、赤玉がa個、白玉がb個入っている。この中から無作為に一個取り出

確率漸化式の問題です。

箱の中に初め、赤玉がa個、白玉がb個入っている。この中から無作為に一個取り出して色を確認した後それを箱に戻し、さらにそれと同じ色の玉をもう一個別のところから持ってきて箱に入れる。この試行を繰り返す。
(つまり、一回の試行が終わるごとに試行前に比べて取り出した玉の色が1個増える)

(1)2回目で赤を取り出す確率
(2)n回目で赤を取り出す確率


どなたかわかる方いらっしゃいましたら教えていただけると幸いです( ´•̥_•̥` )

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/23 14:37

(1)

2回目で赤を取り出す確率 = (1回目で白,2回目で赤を取り出す確率) + (1回目で赤,2回目で赤を取り出す確率),
1回目で白,2回目で赤を取り出す確率 = (1回目で白を取り出す確率)・(1回目が白の条件下に,2回目で赤を取り出す確率)
1回目で白を取り出す確率 = b/(a+b),
1回目が白の条件下に,2回目で赤を取り出す確率 = a/(a+b+1),
1回目で赤,2回目で赤を取り出す確率 = (1回目で赤を取り出す確率)・(1回目が白の条件下に,2回目で赤を取り出す確率)
1回目で赤を取り出す確率 = a/(a+b),
1回目が白の条件下に,2回目で赤を取り出す確率 = (a+1)/(a+b+1).
により、
2回目で赤を取り出す確率 = {b/(a+b)}{a/(a+b+1)} + {a/(a+b)}{(a+1)/(a+b+1)} = a/(a+b).

(2)
n 回目で赤を取り出す確率 を p(n) と置く。
n 回目までに赤を取り出す個数の期待値を q(n) と置くと、
q(n) = Σ[k=1..n] p(k),
p(n+1) = ( a + q(n) )/( a + b + n).

式から p() を消去して、少し整理すると、
q(n+1)/(a+b+n+1) = q(n)/(a+b+n) + a/((a+b+n)(a+b+n+1)) となる。
よって、
q(n)/(a+b+n) = q(1)/(a+b+1) + Σ[k=1..n-1] a/((a+b+k)(a+b+k+1))
= p(1)/(a+b+1) + a Σ[k=1..n-1]{ 1/(a+b+k) - 1/(a+b+k+1) }
= a/(a+b)/(a+b+1) + a { 1/(a+b+1) - 1/(a+b+n) }
= an/((a+b)(a+b+n)).

n≧2 のとき、
p(n) = q(n) - q(n-1) = an/(a+b) - a(n-1)/(a+b) = a/(a+b).

この回答へのお礼

期待値ですか………
目から鱗でした笑
ありがとうございました！

お礼日時：2019/06/23 15:30