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こんにちわ。質問があります。
和の公式一般項として下記の式があります。
∑【k=1~n】k^i=n^(i+1)-∑【k=1~n-1】k*{(k+1)^i-k^i}
この式から任意のk^iの一般項を求められますが、
すでに既出でしょうか?
よろしくお願いいたします

質問者からの補足コメント

  • ご丁寧にありがとうございます。
    例えば、i=2なら
    ∑【k=1~n】k^2=n^3-∑【k=1~n-1】k*{(k+1)^2-k^2}
    ∑【k=1~n】k^2=n^3-∑【k=1~n-1】(2*k^2+k)
    ∑【k=1~n】k^2=n^3-2*∑【k=1~n】(k^2)+2*n^2-(n-1)*n/2
    3*∑【k=1~n】k^2=n^3+2*n^2-(n-1)*n/2
    6*∑【k=1~n】k^2=2*n^3+4*n^2-(n-1)*n
    6*∑【k=1~n】k^2=2*n^3+4*n^2-n^2+n
    6*∑【k=1~n】k^2=2*n^3+3*n^2+n
    6*∑【k=1~n】k^2=n*(2*n^2+3*n+1)
    ∑【k=1~n】k^2=n*(n+1)(2*n+1)/6
    というようにできて楽しいなと思っただけです

    お礼欄にも書いてしまいすみません。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2019/06/25 18:45

A 回答 (1件)

こんにちは。



>こんにちわ。

「こんにちは」ですね。

>すでに既出でしょうか?

二重に重なっていますね。
「既出でしょうか?」あるいは「すでに出ていますか?」かと思います。

ところで

∑【k=1~n-1】k*{(k+1)^i-k^i} = ∑【k=2~n】(k - 1)*{k^i - (k - 1)^i}
= ∑【k=2~n】{(k - 1)*k^i - (k - 1)^(i + 1) }
= ∑【k=2~n】{k^(i + 1) - k^i - (k - 1)^(i + 1) }
= ∑【k=2~n】k^(i + 1) - ∑【k=2~n】k^i - ∑【k=2~n】(k - 1)^(i + 1)
= ∑【k=1~n】k^(i + 1) - 1 - ∑【k=1~n】k^i + 1 - ∑【k=1~n】k^(i + 1) + n^(i + 1)
= n^(i + 1) - ∑【k=1~n】k^i

は自明ですが、質問者さんが主張したいのはどういうことでしょうか?
この回答への補足あり
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。
例えば、i=2なら
∑【k=1~n】k^2=n^3-∑【k=1~n-1】k*{(k+1)^2-k^2}
∑【k=1~n】k^2=n^3-∑【k=1~n-1】(2*k^2+k)
∑【k=1~n】k^2=n^3-2*∑【k=1~n】(k^2)+2*n^2-(n-1)*n/2
3*∑【k=1~n】k^2=n^3+2*n^2-(n-1)*n/2
6*∑【k=1~n】k^2=2*n^3+4*n^2-(n-1)*n
6*∑【k=1~n】k^2=2*n^3+4*n^2-n^2+n
6*∑【k=1~n】k^2=2*n^3+3*n^2+n
6*∑【k=1~n】k^2=n*(2*n^2+3*n+1)
∑【k=1~n】k^2=n*(n+1)(2*n+1)/6
というようにできて楽しいなと思っただけです

お礼日時:2019/06/25 18:32

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