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4|a+4|=√2√(4a^2+1)を解くとき、解説に「両辺は正であるから2乗すると16(a^2+2a+1)=2(4a^2+1)
よってa=-1/2, -7/2」と書いていたのですが、何故「両辺は正であるから」と書く必要があるのですか。両辺を2乗して出た解a=-1/2, -7/2を元の式に当てはめると両辺が正になるからですか。

A 回答 (3件)

Ano1です。



-2=a+3
⇒ 4=(a+3)²
⇔ a²+6a+5=0
⇔ (a+1)(a+5)=0
ってことで、
a=-1 の時に戻れるのは、
4=(a+3)² までということになります。

両辺が正(もしくは両辺が負)であるなら、
最初の⇒は⇔となりますので、最後まで戻れることになり、出てきた双方の解が前提の式を必ず満たすことになります。

2=|a+3|
⇔ 4=(a+3)²
⇔ a²+6a+5=0
⇔ (a+1)(a+5)=0

ただ、解を求めなさいというのが問題である場合には、出てきた答えが、最初の式を満たすか満たさないかの判断を行い、正しい解はこれであるという場合においては、「両辺が正である」と書く必要はなくなりますが、まあ、余り美しくはありません。
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>何故「両辺は正であるから」と書く必要があるのですか。



必要はない。

A=BならばA^2=B^2となります。逆は成り立ちません。今回の場合は別に書く必要はありません。
ただ、事前に書いておくと両辺を二乗してできた二次方程式の解が本当に正しい解か確認する必要はなくなります。
(A^2=B^2を満たす解がA=Bを満たすとは限らない。A>0,B>0であればA^2=B^2ならばA=Bが成り立つ。)
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a=b ⇒ a²=b² だけど、、、


a=b ⇔ a²=b²ではない。

たとえば、、、
-2=a+3
4=(a+3)²
a²+6a+5=0
(a+1)(a+5)=0
となるけど、、、
元の式にa=-1を入れても-2=2となり成り立たない。
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